积性函数（乘性函数）

积性函数（乘性函数）

定义：

若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1) = 1\) ，且 \(f(xy) = f(x)f(y)\) 对任意互质的 \(x,y\in \mathbb{N}^*\) 都成立，则 \(f(n)\) 为积性函数。

若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1) = 1\) ，且 \(f(xy) = f(x)f(y)\) 对任意的 \(x,y\in \mathbb{N}^*\) 都成立，则 \(f(n)\) 为完全积性函数。

性质:

对一正整数 \(x\)，设其唯一质因数分解为 \(\prod{p_i^{k_i}}\) ，其中 \(p_i\) 为素数。

若 \(f(n)\) 为积性函数，则有 \(f(n) = \prod{f(p_i^{k_i})}\)

若 \(f(n)\) 为完全积性函数，则有 \(f(n) = \prod{f(p_i^{k_i})} = \prod{f(p_i)^{k_i}}\)