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在交换环的各种例子中，最典型的是多项式环$A[x]$和幂级数环$A[[x]]$。 多项式环$A[x]$是由$f(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$组成的环，它的性质包括： $f$在$A$可逆 $\Leftrightarrow a_0$在$A$中可逆，且$a_1,\do 阅读全文
posted @ 2021-03-16 14:28
Euler57721
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五次以上方程无求根公式的证明框架 一般方程$f(x)=xn - t_1x + \dots + (-1)n t_n=0$有求根公式，意味着在$f(x)$在$F = \mathbb(t_1, \dots, t_n)$上的分裂域$E$上存在$F$的根塔，也即存在域扩张链 \(F=F_1\subseteq 阅读全文
posted @ 2021-03-16 14:25
Euler57721
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本章的重点是三个等价的定理，它们被用来证明$e$的超越性： 林德曼-魏尔斯特拉斯定理 如果$u_1,\dots,u_n$是两两不同的代数数，则$\exp(u_1),\dots,\exp(u_n)\(在\)\mathbb$上线性无关。 广义林德曼-魏尔斯特拉斯定理 如果$u_1,\dots,u_n$是 阅读全文
posted @ 2021-03-16 14:24
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模p法 对于多项式$f(x)\(，我们经常要求其在\)\mathbb\(上的伽罗瓦群\)\text(f(x),\mathbb)$。模$p$法告诉我们，我们可以通过求$f(x)$在$p$元域上的伽罗瓦群$\text(f(x),\mathbb_p)\(得到\)\text(f(x),\mathbb)$的信 阅读全文
posted @ 2021-03-16 14:19
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在伽罗瓦群的各种性质中，可迁性是最重要的一类性质，因为它所对应的是不可约多项式的分裂域，而这是我们最经常遇到的一种情形。$S_p$的可迁子群有以下性质： 定理 $G$是$S_p$可解的可迁子群，则 \(|G| = pm 其中 m | (p-1)\) $G$的任意两个$m$阶子群之交为${1}$ 性质 阅读全文
posted @ 2021-03-16 14:18
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4次不可约多项式的伽罗瓦群 考虑$F$上的4次不可约多项式$f(x)$。 当$\text(F) \neq 2$时，$f(x)$无重根。假设根为$r_1,r_2,r_3,r_4$，我们定义$$\alpha = r_1r_2+r_3r_4, \beta = r_1r_3 + r_2r_4,\gamma 阅读全文
posted @ 2021-03-16 14:14
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伽罗瓦理论基本定理建立起的域扩张和群之间的一一对应，共轭中间域对应共轭子群，正规扩张对应正规子群，不可约多项式的分裂域对应可迁子群。利用伽罗瓦理论基本定理，我们可以把域问题转化为群问题解决，例如： $E/F$是有限伽罗瓦扩张。\(\text{Gal}(E/F) = A_n, n \geq 4\)，则 阅读全文
posted @ 2021-03-16 14:13
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本章最重要的定理是以下4个命题等价 (i) $E/F$是有限伽罗瓦扩张 (ii) $E$是$F$上可分多项式在$F$上的分裂域 (iii) $E/F$是有限扩张且$|\text(E/F)| = [E:F]$ (iv) $G = \text(E/F)\(是有限群且\)\text(G) = F$ 该定理 阅读全文
posted @ 2021-03-16 14:12
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