《伽罗瓦理论》笔记3

4次不可约多项式的伽罗瓦群

考虑\(F\)上的4次不可约多项式\(f(x)\)。
当\(\text{char}(F) \neq 2\)时，\(f(x)\)无重根。假设根为\(r_1,r_2,r_3,r_4\)，我们定义$$\alpha = r_1r_2+r_3r_4, \beta = r_1r_3 + r_2r_4,\gamma = r_1r_4 + r_2r_3$$考虑\(m = [F(\alpha, \beta, \gamma):F]\)，因为\(G = \text{Gal}(F(\alpha, \beta, \gamma):F)\)是\(S_4\)的可迁子群，所以\(m|6\)。我们做如下讨论：

1. \(m=1\)时，\(G\)为Klein四元群。
2. \(m=2\)时，\(G\)为二面体群\(D_4\)。
3. \(m=3\)时，\(G\)为交错群\(A_4\)。
4. \(m=6\)时，\(G\)为对称群\(S_4\)。

当\(\text{char}(F) = 2\)时，如果\(f(x)\)没有重根，则结论与\(\text{char}(F) \neq 2\)时相同；而有重根的形式是\(f(x) = x^4 + ax^2 + b\)，假设\(\alpha, \beta\)是\(x^4 + x^2 + 1\)的两个不同根，则根据\(\text{char}(F) = 2\)有$$0 = (\alpha^4 + a \alpha^2 + b) - (\beta^4 + a \beta^2 + b) = (\alpha - \beta)^2 ((\alpha - \beta)^2 + a) $$ 从而\(\beta = \alpha + \sqrt{a}\)。可以发现\(\alpha, \beta\)都是\(F\)上的4阶代数元。这时候，我们分两类情况：

1. 如果\(\sqrt{a}\in F\) 那么\(G\)为循环群\(C_4\)
2. 如果\(\sqrt{a}\not \in F\) 那么\(G\)为二面体群\(D_8\)