《伽罗瓦理论》笔记1

本章最重要的定理是以下4个命题等价
(i) \(E/F\)是有限伽罗瓦扩张
(ii) \(E\)是\(F\)上可分多项式在\(F\)上的分裂域
(iii) \(E/F\)是有限扩张且\(|\text{Gal}(E/F)| = [E:F]\)
(iv) \(G = \text{Gal}(E/F)\)是有限群且\(\text{Inv}(G) = F\)

该定理可以被用来证明一些有趣的结论：

1. 复数域\(\mathbb{C}\)没有2次扩张。
   反证法。假设\(\mathbb{C}\)有2次扩张\([E:\mathbb{C}]=2\)，该扩张有一组基\(\{1, a \}\)，伽罗瓦群\(\text{Gal}(E/\mathbb{C})\)由以下元素构成 $$\sigma_1: z_1a + z_2\to z_1a + z_2$$ $$\sigma_2: z_1a + z_2\to z_1a - z_2$$ 并且我们考虑\(a^2\)。设$$a^2 = z_1a + z_2, \text{其中} z_1,z_2 \in \mathbb{C}$$ 利用条件(iii)，我们知道\(E\)是$$f(a) = a^2 - z_1a - z_2$$在\(\mathbb{C}\)上的分裂域。然而代数基本定理说明\(f(a) = 0\)的两个根都在\(\mathbb{C}\)中，这说明\(a \in \mathbb{C}\)且\(E=\mathbb{C}\)，矛盾。
2. \(|\text{Gal}(E/F)|\) 整除 \([E:F]\)
   我们令\(G = \text{Gal}(E/F)\)，\(H=\text{Inv}(G)\)，根据阿廷引理\([E:H] = |G|\)。利用条件(iv)，我们发现\(E/H\)是有限伽罗瓦扩张，这表示\([E:F] = [E:H]\cdot[H:F] = |G|\cdot[H:F]\)，也即\(|G|\) 整除 \([E:F]\)

本章未对正规基加以说明。设\(\text{Gal}(E/F) = \{\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n\}\)，如果存在\(\beta\in E\)使\(\sigma_1(\beta), \sigma_2(\beta), \dots, \sigma_n(\beta)\)在\(F\)上线性无关，那么\(\sigma_1(\beta), \sigma_2(\beta), \dots, \sigma_n(\beta)\)就是\(E/F\)的一组正规基。
例如对于\(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q}\)取\(\beta = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}\)，那么通过伽罗瓦群我们得到一组正规基: $$\sigma_1(\beta)\to 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$$ $$\sigma_2(\beta)\to 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}$$ $$\sigma_3(\beta)\to 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6}$$ $$\sigma_4(\beta)\to 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6}$$ 任何伽罗瓦扩张都有正规基，因为\(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n\)是\(E\)上的群同态，根据戴德金无关性定理，他们线性无关。