《伽罗瓦理论》笔记2

伽罗瓦理论基本定理建立起的域扩张和群之间的一一对应，共轭中间域对应共轭子群，正规扩张对应正规子群，不可约多项式的分裂域对应可迁子群。利用伽罗瓦理论基本定理，我们可以把域问题转化为群问题解决，例如：

1. \(E/F\)是有限伽罗瓦扩张。\(\text{Gal}(E/F) = A_n, n \geq 4\)，则不存在\(E/F\)的中间域\(L\)使\([L:F] = 2\)。
   这一命题等价于\(A_n\)没有指数为2的子群。我们假设存在指数为2的子群\(B\)，那么\(B\)必定是\(A_n\)的正规子群（即\(aB=Ba\)），且任何陪集都满足\((aB)^2 = B\)。任取一个3-轮换\(a\)都有\(a^3 = 1\)，从而\(aB = a^4B^4 = (aB)^4 = B\)，因此\(B\)包含了所有3-轮换。而我们知道交错群\(A_n\)是由3-轮换生成的群，因此\(B = A_n\)矛盾。
2. \(E/F\)是有限伽罗瓦扩张。设\(p\)是整除\([E:F]\)的素数，则存在中间域\(L\)使\([E:L] = p\)。
   如果\(p\)整除\([E:F]\)，那么\(p\)也整除\(\text{Gal}(E/F)\)，也即\(\text{Gal}(E/F)\)存在一个西罗\(p\)子群\(H\)。根据伽罗瓦理论基本定理，我们就可以得到\(L=\text{Inv}(H)\)。
3. \(E/F\)是有限伽罗瓦扩张。如果对于任意域\(K(F\subsetneq K \subseteq E)\)，\([K:F]\)均相同，则\([E:F]\)是素数。
   根据伽罗瓦理论基本定理，“\([K:F]\)均相同”等价于“\(\text{Gal}(E/F)\)所有非平凡子群的阶都相同”。那么根据西罗定理，\(|\text{Gal}(E/F)|\)是素数，也即\([E:F]\)是素数。

并且伽罗瓦理论基本定理还可以用于子域：设\(L\)和\(M\)均是\(E\)的子域且\(L/(L\cap M)\)为有限伽罗瓦扩张，那么\(LM/M\)也为有限伽罗瓦扩张，并且\(\text{Gal}(LM/M) \cong \text{Gal}(L/(L\cap M))\)。
我们可以用分裂域来说明这一事实：因为\(L/(L\cap M)\)为有限伽罗瓦扩张，所以\(L\)是\((L\cap M)\)上可分多项式\(f(x)\)的分裂域。我们把\(f(x)\)所有根加入\(M\)中生成扩张\(M(x_1,x_2,\dots x_n) = M(L\cap M)(x_1,x_2,\dots x_n) = LM\)，也即\(LM\)也是\(M\)上可分多项式\(f(x)\)的分裂域。并且由于伽罗瓦群中的元素是\(x_1,x_2,\dots x_n\)的置换，因此可以利用置换的对应建立\(\text{Gal}(LM/M)\)和\(\text{Gal}(L/(L\cap M))\)之间的同构。