《伽罗瓦理论》笔记7

五次以上方程无求根公式的证明框架

1. 一般方程\(f(x)=x^n - t_1x^{n-1} + \dots + (-1)^n t_n=0\)有求根公式，意味着在\(f(x)\)在\(F = \mathbb{Q}(t_1, \dots, t_n)\)上的分裂域\(E\)上存在\(F\)的根塔，也即存在域扩张链

\[F=F_1\subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_{r}=E \]

满足\(F_{i+1} = F_i(d)\)并且\(d^k = F_i\)，其中\(k\)是正整数。
2. \(E\)上存在\(F\)的根塔当且仅当伽罗瓦群\(\text{Gal}(E/F)\)是可解群，也即存在正规群列

\[\text{Gal}(E/F) = G_0 \rhd G_1 \rhd \dots \rhd G_m = \{1\} \]

满足每个因子群\(G_{i-1}/G_i\)是交换群。
3. \(f(x)\)在\(F = \mathbb{Q}(t_1, \dots, t_n)\)上分裂域\(E\)的伽罗瓦群\(\text{Gal}(E/F)\)是对称群\(S_n\)。
4. 可解群的子群亦可解；非交换单群不可解。
5. 交错群\(A_5\)是非交换单群，它是对称群\(S_n, n \geq 5\)的子群。