《伽罗瓦理论》笔记6

本章的重点是三个等价的定理，它们被用来证明\(e\)的超越性：

1. 林德曼-魏尔斯特拉斯定理 如果\(u_1,\dots,u_n\)是两两不同的代数数，则\(\exp(u_1),\dots,\exp(u_n)\)在\(\mathbb{Q}\)上线性无关。
2. 广义林德曼-魏尔斯特拉斯定理 如果\(u_1,\dots,u_n\)是两两不同的代数数，则\(\exp(u_1),\dots,\exp(u_n)\)在\(\mathbb{A}\)上线性无关。
3. 埃尔米特-林德曼-魏尔斯特拉斯定理 如果\(u_1,\dots,u_n\)是在\(\mathbb{Q}\)上线性无关的代数数，则\(\exp(u_1),\dots,\exp(u_n)\)在\(\mathbb{A}\)上代数无关。

思路
1 \(\Rightarrow\) 2: 反设\(\exp(u_1),\dots,\exp(u_n)\)在\(\mathbb{A}\)上线性相关。令\(K\)是\(\mathbb{Q}(u_1,\dots, u_n)\)的最小正规扩张，则任取\(\sigma \in \text{Gal}(K/\mathbb{Q})= G\)，都存在\(K\)中两两不同的非零代数数\(w_1,\dots, w_r\)和整数\(c_0 \neq 0, c_1, \dots, c_r\)满足

\[c_0 + c_1\exp(\sigma(w_1)) + \dots + c_r\exp(\sigma(w_r)) = 0 \]

因此\(\exp(\sigma(w_1)),\dots,\exp(\sigma(w_r))\)在\(\mathbb{Q}\)上线性相关。根据伽罗瓦理论基本定理，我们又知道多项式

\[g_j(x) = \prod_{\sigma\in G}(x - \sigma(w_j)) \]

的系数属于\(\mathbb{Q}\)，从而\(K\)是多项式\(g_1, g_2, \dots, g_n\)的分裂域。由于\(\sigma\)是多项式\(g_j(x)\)根的置换，因此\(\sigma(w_j)\)是两两不同的代数数，这与林德曼-魏尔斯特拉斯定理矛盾。

2 \(\Rightarrow\) 3: 由于\(u_1,\dots,u_n\)在\(\mathbb{Q}\)上线性无关，任取\(r\)个不同组合\((k_{1j}, k_{2j},\dots,k_{nj})\in \mathbb{Q}^n\)都满足

\[\sum_i k_{i1}u_i, \sum_i k_{i2}u_i,\dots \sum_i k_{ir}u_i \]

是两两不同的代数数。由广义林德曼-魏尔斯特拉斯定理我们知道

\[\exp\left(\sum_i k_{i1}u_i\right), \exp\left(\sum_i k_{i2}u_i\right),\dots \exp\left(\sum_i k_{ir}u_i\right) \]

在\(\mathbb{A}\)上线性无关。这意味着不存在不全为零的\(c_1, c_2,\dots,c_r\in \mathbb{A}\)满足

\[c_1\exp\left(\sum_i k_{i1}u_i\right) +c_2 \exp\left(\sum_i k_{i2}u_i\right) +\dots +c_r\exp\left(\sum_i k_{ir}u_i\right) = 0 \]

\[c_1\prod_i \exp(u_i)^{k_{i1}} + c_2\prod_i \exp(u_i)^{k_{i2}} + \dots +c_r\prod_i \exp(u_i)^{k_{ir}} = 0 \]

也即不存在非零多项式\(f\)满足\(f(\exp(u_1), \exp(u_2),\dots, \exp(u_n)) = 0\)

3 \(\Rightarrow\) 1: 反设\(\exp(u_1),\dots,\exp(u_n)\)在\(\mathbb{Q}\)上线性相关，即存在不全为零的\(b_1, b_2,\dots,b_n\in \mathbb{Q}\)满足

\[b_1\exp(u_1) + \dots + b_n\exp(u_n) = 0 \]

由埃尔米特-林德曼-魏尔斯特拉斯定理的逆否命题，\(u_1,\dots,u_n\)在\(\mathbb{Q}\)上线性相关，也即存在\(\mathbb{Q}\)上线性无关的\(v_1,\dots,v_r\)满足

\[u_i = \sum_{j}a_{ij} v_j, a_{ij}\in \mathbb{Z} \]

我们把它带入上式得到

\[b_1\exp\left(\sum_{j}a_{1j} v_j\right) + \dots + b_n\exp\left(\sum_{j}a_{nj} v_j\right) = 0 \]

\[b_1\prod_j\exp( v_j)^{a_{1j}} + \dots + b_n\prod_j\exp( v_j)^{a_{nj}} = 0 \]

这意味着\(v_1,\dots,v_r\)是\(\mathbb{Q}\)上线性无关的代数数，且存在非零多项式\(f\)满足\(f(\exp(u_1), \exp(u_2),\dots, \exp(u_n)) = 0\)，与埃尔米特-林德曼-魏尔斯特拉斯定理矛盾。

林德曼-魏尔斯特拉斯定理可以用来证明\(e\)的超越性。反设\(e\)是代数数，则存在有理数\(c_0, c_1, \dots, c_n\)满足

\[c_0 + c_1 e + \dots + c_m e^m = 0 \]

这意味着\(e^0, e^1, \dots, e^m\)在\(\mathbb{Q}\)上线性相关，但\(0, 1, \dots, m\)却是两两不同的代数数。这与林德曼-魏尔斯特拉斯定理矛盾。