《伽罗瓦理论》笔记4

在伽罗瓦群的各种性质中，可迁性是最重要的一类性质，因为它所对应的是不可约多项式的分裂域，而这是我们最经常遇到的一种情形。\(S_p\)的可迁子群有以下性质：

定理 \(G\)是\(S_p\)可解的可迁子群，则

1. \(|G| = pm 其中 m | (p-1)\)
2. \(G\)的任意两个\(m\)阶子群之交为\(\{1\}\)

性质1的思路 我们知道\(\mathbb{F}_p\)上仿射变换群\(\text{Aff}(\mathbb{F}_p)\)的阶是\(p(p-1)\)，而\(\text{Aff}(\mathbb{F}_p)\)是\(S_p\)的子群。由\(G\)的可迁性我们知道\(G\)包含\(p\)阶元素，我们只要证明\(G\)与\(\text{Aff}(\mathbb{F}_p)\)的子群\(H\)共轭，那么性质1就成立。
如何构造这个共轭呢？我们把\(\text{Aff}(\mathbb{F}_p)\)分解为线性变换\(\sigma_a:x\to ax\)组成的群\(L\)，以及平移变换\(\tau_b:x\to x+b\)组成的群\(T\)，它们满足

\[\text{Aff}(\mathbb{F}_p) = L \ltimes T \]

我们考虑\(G\)的西罗\(p\)子群\(P\)，\(P\)是\(G\)的正规子群且它与\(T\)都是\(S_p\)的西罗\(p\)子群，因此\(P\)与\(T\)在\(S_p\)中共轭，也即对任意\(p\in P\)，存在\(t: x\to x+b \in T, s\in S_p\)满足

\[p(x) = sts^{-1}(x) = s(s^{-1}(x) + b) = x + s(b) \]

我们再考虑任意\(g\in G\)，因为\(P\)是\(G\)的正规子群，所以

\[gp(x) = g(x + s(b)) = g(x) + s(b) = pg(x) \]

\[g(x) = g(x + s(b)) - s(b) \]

也即\(G\)与\(\text{Aff}(\mathbb{F}_p)\)的子群共轭。

性质2的思路 上文提到\(G\)与\(\text{Aff}(\mathbb{F}_p)\)的子群\(H\)共轭，而\(H\)的\(m\)阶子群由\(L\)中的线性变换\(\sigma_a:x\to ax\)构成，它们的形式是\(\left<\sigma_{c^{(p-1)/m}}\right>\)，其中\(c\in \mathbb{F}_p\)。我们假设\(G\)的两个\(m\)阶子群\(\left<g_1\right>,\left<g_2\right>\)且它们的交不为\(\{1\}\)，这意味着存在\(g_1^{k_1}=g_2^{k_2}\)。在共轭映射下\(\phi\)下有

\[\phi(g_1)(x) = c_1^{(p-1)/m}x, \phi(g_2)(x) = c_2^{(p-1)/m}x \]

\[\phi(g_1^{k_1})(x) = c_1^{(p-1)k_1/m}x = c_2^{(p-1)k_2/m}x = \phi(g_2^{k_2})(x) \]

\[c_1^{k_1} = c_2^{k_2} \]

由此说明\(\left<\sigma_{c_1^{(p-1)/m}}\right>\)和\(\left<\sigma_{c_2^{(p-1)/m}}\right>\)是同一个循环群，通过同构我们得到\(\left<g_1\right> = \left<g_2\right>\)。

可迁子群的性质可以用来证明以下定理：
伽罗瓦定理 设\(f(x)\)是特征0的域\(F\)上的\(p\)次不可约多项式，\(E\)是\(f(x)\)在\(F\)上的分裂域。\(f(x)\)在\(F\)上根式可解当且仅当\(f(x)\)的任意两个根\(r_i\)和\(r_j\)都满足\(E = F(r_i, r_j)\)。

思路 由于\(f(x)\)是\(p\)次不可约多项式，所以\(G=\text{Gal}(E/F)\)是\(S_p\)可解的可迁子群。

充分性：根据可迁子群的性质

\[|G| = pm 其中 m | (p - 1 ) \]

因此\(G\)只有一个西罗p子群\(P\)，而且\(P\)的正规化子是\(G\)，因此\(P\)是正规子群。而由于\(P\)是素数阶群，因此它也是交换群。我们就这样构造了一个正规群列

\[G \rhd P \rhd \{1\} \]

从而由\(G\)的可解性证明\(f(x)\)在\(F\)上根式可解。

必要性：由\(r_i\)是\(p\)次不可约多项式的根，我们知道\([F(r_i):F] = p\)，从而\([E:F(r_i)] = m\)。因此\(\text{Gal}(E/F(r_i))\)和\(\text{Gal}(E/F(r_i))\)都是\(m\)阶群，它们之交为\(\text{Gal}(E/F(r_i, r_j)) = \text{Gal}(E/F(r_i))\cap\text{Gal}(E/F(r_i)) = 1\)，即\(E=F(r_i, r_j)\)。