《伽罗瓦理论》笔记5

模p法
对于多项式\(f(x)\)，我们经常要求其在\(\mathbb{Q}\)上的伽罗瓦群\(\text{Gal}(f(x),\mathbb{Q})\)。模\(p\)法告诉我们，我们可以通过求\(f(x)\)在\(p\)元域上的伽罗瓦群\(\text{Gal}(f(x),\mathbb{F}_p)\)得到\(\text{Gal}(f(x),\mathbb{Q})\)的信息。其核心思想是：

定理 设\(f(x)\)是首一无重根整系数多项式，\(p\)是与判别式\(d(f)\)互素的素数，则\(\text{Gal}(f(x),\mathbb{F}_p)\)是\(\text{Gal}(f(x),\mathbb{Q})\)的子群。

那么我们怎么求\(\text{Gal}(f(x),\mathbb{F}_p)\)呢？以下定理十分有用：

定理 设\(F\)是有限域，\(f(x) = f_1(x)\dots f_m(x)\)，其中\(f_i(x)\)是\(F\)上的\(n_i\)次不可约多项式，则\(\text{Gal}(f(x), F)\)是由\((1\dots n_1)(n_1+1\dots n_1 + n_2)\dots\)生成的循环群。

例如，求\(f(x) = x^4+3x^3 -3x -2\)在\(\mathbb{Q}\)上的伽罗瓦群\(G_f\)。
它的判别式为

\[d(f) = -2183 = -37 \times 59 \]

我们考虑以下有限域：
\(f(x) \equiv x^4 + x^3 +x = x(x^3+x^2+1) \mod 2\)说明\(G_f\)包含循环群\(\left<(1)(234)\right>\)
\(f(x) \equiv x^4 + 1 = (x^2+x+2)(x^2+2x+2) \mod 3\)说明\(G_f\)包含循环群\(\left<(12)(34)\right>\)
由于\(f(x)\)在\(\mathbb{Q}\)上不可约且\(d(f)\not \in \mathbb{Q}^2\)，因此包含这些循环群的可迁置换群是\(G_f = S_4\)