随笔分类 - 从0.5开始的算法学习记录
摘要：网络流 最小割、费用流 割 网络流中的割被定义为一种点集的划分方式，源点 \(s\in S\) ，汇点 \(t\in T\) 割 \((S,T)\) 的容量为 \(c(S,T)\) 表示所有从 \(S\) 到 \(T\) 的边的容量之和 最小割问题就是求一个割 \((S,T)\) 使得这样划分的 \
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摘要：网络流 最大流算法 网络 图论中的网络是一种特殊的有向图，与有向图不同的是网络存在容量、源点和汇点 \(E\) 边集中的每一条边 \((u,v)\) 都有一个被称为容量的权值 \(c\) \(V\) 点集中存在两个特殊点：源点 \(s\) 和汇点 \(t\) 在网络 \(G=(V,E)\) 中，流是
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摘要：FWT 快速沃尔什变换 对于整数数组进行位运算卷积的快速计算方式，和 FFT 类似的时间复杂度 \(O(n\log n)\) 引入 位运算卷积：\(C_i=\sum\limits_{i=j\otimes k} A_jB_k\) ，其中 $\otimes $ 表示某种位运算操作 正变换：通过 \(A,
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摘要：FFT 快速傅里叶变换 高效实现 DFT 离散傅里叶变换的一种手段，可以将两个 \(n\) 次多项式相乘的时间复杂度优化到 \(O(n\log n)\) 的算法 引理：给定 \(n\) 个点可以确定 \(n-1\) 次函数曲线的系数和系数存在映射关系 设两个多项式分别为 \(F(x),G(x)\)
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摘要：莫队算法 用于解决一类区间询问问题的办法 对于一段给定的数据序列，有 \(m\) 次询问，询问的区间 \([l,r]\) 如果能够在 \(O(1)\) 的时间复杂度内将区间拓展到 \([l\pm1,r\pm 1]\) ，那么我们就能够在 \(O(n\sqrt n)\) 的时间复杂度内计算所有询问的答
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摘要：Tarjan 算法处理 缩点、割点、割边 强连通分量SCC缩点 对有向图进行简化操作，将图中的强连通分量合并为一个节点 合并后的节点具有合并前所有节点的权值贡献且不会重复，对于边的处理当且仅当 SCC 内部有出入边时才映射 例：洛谷P3387 https://www.luogu.com.cn/pro
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摘要：Splay平衡树 基于 Splay 伸展操作维持平衡的二叉树，不断将某个节点旋转到根节点，可以在均摊 \(O(\log n)\) 的时间内完成插入查找和删除操作 节点的定义： struct node{ int s[2];//左儿子0，右儿子1 int v;//节点的权值 int cnt;//权值的次
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摘要：数位DP问题 用来解决一类对数位进行某种计数的问题，通常有以下特点： 统计满足某种条件或约束的数量，且需要统计的区间跨度极大 某些条件或约束可以利用数位拆分的方式去满足 通常给定的区间 \([l,r]\) 可以拆分为 \([1,l],[1,r]\) 然后利用前置和做差计算 因为需要满足的约束以及边界
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摘要：求强连通分量 相关概念 强连通：在有向图 \(D\) 中，\(D\) 的任意两个节点连通 强连通分量：一张平凡图上的极大强连通子图 DFS 生成树：以图上某节点通过 DFS 访问的方式，与可达节点形成的树结构，依据树结构图上的边主要分为四类 树边：在 DFS 生成树上连接两个节点的边，在图上为每次搜
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摘要：树链剖分/重链剖分 关于树上的查询修改问题，如果采用DFS的方式处理，时间效率会上升到 \(O(n^2)\) 可以将树转化为多个链，然后映射到线段树上维护，可以降低时间复杂度到 \(O(n\log n)\) 树链剖分就是将树切分为多个链，然后将这些链上的节点紧密地映射到线段树上 struct nod
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摘要：最近公共祖先LCA 倍增法求LCA vector<int> e[500010]; int dep[500010],fa[500010][20]; void solve(){ cin>>n>>m>>s; for (int i=1;i<=n-1;i++){ int u,v; cin>>u>>v; e[u
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摘要：树的重心与直径 树的重心 有以下三种定义方式： 以某点为根，最大子树的节点数最小，该点为重心 以某点为根，所有子树的节点数不超过总节点数的一半，该点为重心 以某点为根，所有节点到这个根边数和最小，该点为重心 也存在以下这些性质： 一棵树最多有两个重心，且这两个重心一定相邻 给这棵树增加或减少一个叶子
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摘要：区间DP问题 一般来说，区间DP问题都能被转化为多个子区间的合并，在过程中可以枚举合并点将问题分为左右两个部分，从子区间的最优解转移到区间的最优状态上 线性区间合并 https://www.luogu.com.cn/problem/P1775 int m[310]; int dp[310][310]
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摘要：树形DP 是在树上进行的动态规划，所以一般采用递归的方式计算状态的转移 https://www.luogu.com.cn/problem/P1352 一道经典的树形DP问题引入 int n; vector<int> e[6010]; int a[6010]; bool st[6010]; int d
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摘要：KMP字符串匹配算法 常见的 \(O(n*m)\) 暴力算法 for (int i=1;i<=n;i++){ int j,k; for (j=i,k=1;k<=m;j++,k++){ if (s1[j]!=s2[k]) break; } if (k==m) cout<<i; } 最外层用 \(i\)
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摘要：拓扑排序 算法应用 对于给定的有向无环图，给出一个序列满足对于图中的每条有向边 \((x,y)\) ，\(x\) 在这个序列中都出现在 \(y\) 之前 那么定义这个序列为这张图的一个拓扑序列 DFS处理拓扑序 DFS过程中会对每条路径都记录一次，利用 c[x] 记录每个点的状态，\(0,-1,1\
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摘要：二分图的染色法判定 二分图的定义：如果一张无向图的 \(n\) 个顶点可以分为 \(A,B\) 两个不相交的集合，并且同一集合内的所有点之间没有边相连，记这张特征图为二分图 \(\implies\) 每一条边都是连接两个集合的边，所以从一个集合出发需要经过偶数条边才能走回原来的集合 推理：二分图不存
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摘要：最小表示法，字符串哈希 最小表示法 给出字符串 \(S\) ，在其所有的循环同构串中选择字典序最小的一个串 循环同构：当字符串 \(S\) 中可以选择一个位置 \(i\) ，满足 \(S_{i,n}+S_{1,i-1}=T\) 那么记 \(S,T\) 循环同构 可以利用类似双指针的办法解决 构造字符
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摘要：01分数规划 这是一类常见的问题，通常需要求解的是一个分数表达式的极大值，例如 \[\frac{\sum_i^j w}{\sum_i^j t} \]可以采取二分的方式进行约算，设 \(x\) 满足 \[\frac{\sum_i^j w}{\sum_i^j t}\ge x \]不等式转化为 \[\su
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摘要：Astar A* 算法路径搜索应用 在求解路径问题时，往往会搜索许多不必要的路径，计算机无法简单地实现人的宏观思维 所以，可以给当前需要搜索的路径增设一个估价函数，令计算机判断当前的最优解，这样可以节省许多不必要的时间开支 估价函数预处理出每个状态到目标状态的所需代价的估计值 \(f(x)\)，实际
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