树链剖分 重链剖分
树链剖分/重链剖分
关于树上的查询修改问题，如果采用DFS的方式处理，时间效率会上升到 \(O(n^2)\)
可以将树转化为多个链，然后映射到线段树上维护，可以降低时间复杂度到 \(O(n\log n)\)
树链剖分就是将树切分为多个链，然后将这些链上的节点紧密地映射到线段树上
struct node{
int l,r,sum,add;
};
node tr[4*N];
int n,m,r,mod;
int a[N],cor[N],idx;
vector<int> e[N];
int fa[N],son[N],top[N];
int sz[N],dep[N],id[N];
首先是在剖分树链前的预处理：
void dfs1(int x,int p){
dep[x]=dep[p]+1;//处理树上每个节点的深度
sz[x]=1;//初始化以x节点为根的子树的大小
fa[x]=p;//记录x节点的父亲
for (auto v:e[x]){
if (v==p) continue;
dfs1(v,x);
sz[x]+=sz[v];//计算子树
if (sz[son[x]]<sz[v]) son[x]=v;//记录x节点的重儿子
}
}
然后进行树链剖分，按照重链将树上节点编号并映射值
这里需要注意的是，较深的节点在线段树上的编号就越大
void dfs2(int x,int t){
id[x]=++idx;//对x节点编号并映射
cor[idx]=a[x];//映射新值
top[x]=t;//记录x所在重链的顶点
if (!son[x]) return;
dfs2(son[x],t);
for (auto v:e[x]){
if (v==fa[x]||v==son[x]) continue;
dfs2(v,v);//对轻儿子新开一条重链
}
}
按照重链的顺序映射到线段树上后，需要完成这些操作的实现
1 x y z，表示将树从 \(x\) 到 \(y\) 结点最短路径上所有节点的值都加上 \(z\)2 x y，表示求树从 \(x\) 到 \(y\) 结点最短路径上所有节点的值之和3 x z，表示将以 \(x\) 为根节点的子树内所有节点值都加上 \(z\)4 x表示求以 \(x\) 为根节点的子树内所有节点值之和
对路径操作：
void update_path(int x,int y,int k){
while (top[x]!=top[y]){
if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
update(id[top[x]],id[x],k,1);
x=fa[top[x]];
}
if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
update(id[y],id[x],k,1);
}
int query_path(int x,int y){
int res=0;
while (top[x]!=top[y]){
if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
res=(res+query(id[top[x]],id[x],1))%mod;
x=fa[top[x]];
}
if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
res=(res+query(id[x],id[y],1))%mod;
return res;
}
每次选择深度较深的节点向上跳，直到处于同一条重链上
如果当前的两个节点不在一条重链上，那就处理较深节点到他所在重链的顶点之间的路径
当最后两个节点处在同一条重链上时，处理这两个节点之间的路径
因为树上的节点都通过重链映射到线段树上，所以都可以通过线段树区间查询的操作处理贡献
对子树操作：
void update_tree(int x,int k){
update(id[x],id[x]+sz[x]-1,k,1);
}
int query_tree(int x){
return query(id[x],id[x]+sz[x]-1,1);
}
这里利用了一个性质，节点 \(x\) 的子树大小为 \(sz_x\) 由于映射的时候是按照 DFN 序列映射的，所以以节点 \(x\) 为根节点的子树在线段树上的编号也是连续映射的，那么这个子树的区间为 \([id_x,id_x+sz_x-1]\)
以洛谷P3384为例：
#include<bits/stdc++.h>
#define cintie ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define Trd int T;cin>>T;while (T--)solve();
#define LLinf 9e18
#define Iinf 2e9
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define Lc p<<1
#define Rc p<<1|1
#define lc(x) tr[x].ch[0]
#define rc(x) tr[x].ch[1]
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct node{
int l,r,sum,add;
};
node tr[4*N];
int n,m,r,mod;
int a[N],cor[N],idx;
vector<int> e[N];
int fa[N],son[N],top[N];
int sz[N],dep[N],id[N];
void dfs1(int x,int p){
dep[x]=dep[p]+1;
sz[x]=1;
fa[x]=p;
for (auto v:e[x]){
if (v==p) continue;
dfs1(v,x);
sz[x]+=sz[v];
if (sz[son[x]]<sz[v]) son[x]=v;
}
}
void dfs2(int x,int t){
id[x]=++idx;
cor[idx]=a[x];
top[x]=t;
if (!son[x]) return;
dfs2(son[x],t);
for (auto v:e[x]){
if (v==fa[x]||v==son[x]) continue;
dfs2(v,v);
}
}
void build(int l,int r,int p){
tr[p]={l,r,cor[l]%mod,0};
if (l==r) return;
int mid=l+r>>1;
build(l,mid,Lc);
build(mid+1,r,Rc);
tr[p].sum=(tr[Lc].sum+tr[Rc].sum)%mod;
}
void pushdown(int p){
if (tr[p].add){
tr[Lc].sum=(tr[Lc].sum+tr[p].add*(tr[Lc].r-tr[Lc].l+1)%mod)%mod;
tr[Rc].sum=(tr[Rc].sum+tr[p].add*(tr[Rc].r-tr[Rc].l+1)%mod)%mod;
tr[Lc].add=(tr[Lc].add+tr[p].add)%mod;
tr[Rc].add=(tr[Rc].add+tr[p].add)%mod;
tr[p].add=0;
}
}
void update(int x,int y,int k,int p){
if (x<=tr[p].l&&y>=tr[p].r){
tr[p].sum=(tr[p].sum+k*(tr[p].r-tr[p].l+1)%mod)%mod;
tr[p].add=(tr[p].add+k)%mod;
return;
}
pushdown(p);
int mid=tr[p].l+tr[p].r>>1;
if (x<=mid) update(x,y,k,Lc);
if (y>mid) update(x,y,k,Rc);
tr[p].sum=(tr[Lc].sum+tr[Rc].sum)%mod;
}
void update_path(int x,int y,int k){
while (top[x]!=top[y]){
if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
update(id[top[x]],id[x],k,1);
x=fa[top[x]];
}
if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
update(id[x],id[y],k,1);
}
void update_tree(int x,int k){
update(id[x],id[x]+sz[x]-1,k,1);
}
int query(int x,int y,int p){
if (x<=tr[p].l&&y>=tr[p].r)
return tr[p].sum;
pushdown(p);
int res=0;
int mid=tr[p].l+tr[p].r>>1;
if (x<=mid) res=(res+query(x,y,Lc))%mod;
if (y>mid) res=(res+query(x,y,Rc))%mod;
return res;
}
int query_path(int x,int y){
int res=0;
while (top[x]!=top[y]){
if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
res=(res+query(id[top[x]],id[x],1))%mod;
x=fa[top[x]];
}
if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
res=(res+query(id[x],id[y],1))%mod;
return res;
}
int query_tree(int x){
return query(id[x],id[x]+sz[x]-1,1);
}
void solve(){
cin>>n>>m>>r>>mod;
for (int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for (int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
e[u].push_back(v);
e[v].push_back(u);
}
dfs1(r,0);
dfs2(r,r);
build(1,n,1);
while (m--){
int op,x,y,z;
cin>>op;
if (op==1){
cin>>x>>y>>z;
update_path(x,y,z);
}
if (op==2){
cin>>x>>y;
cout<<query_path(x,y)<<endl;
}
if (op==3){
cin>>x>>z;
update_tree(x,z);
}
if (op==4){
cin>>x;
cout<<query_tree(x)<<endl;
}
}
}
int main()
{
cintie;
solve();
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号