拓扑排序应用

拓扑排序 算法应用

对于给定的有向无环图，给出一个序列满足对于图中的每条有向边 \((x,y)\) ，\(x\) 在这个序列中都出现在 \(y\) 之前

那么定义这个序列为这张图的一个拓扑序列

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DFS处理拓扑序

DFS过程中会对每条路径都记录一次，利用 c[x] 记录每个点的状态，\(0,-1,1\) 分别表示 没有被访问过，被访问过，已经回溯过

如果存在一个DFS路径序，那么每个点的状态都会从 \(0\to-1\to1\)

DFS路径序是从出度为 \(0\) 的点回溯记录的，翻转后得到拓扑序

vector<int> e[105];
vector<int> rnk;
int c[105];

bool dfs(int x){
	c[x]=-1;//标记x点已经被访问过
	for (auto v:e[x]){//尝试访问x的邻点
		if (c[v]==-1) return 0;//如果v已经被访问过，返回0
		if (!c[v])//如果没有被访问过
			if (!dfs(v)) return 0;//dfs到v点，如果v点返回0，连锁回溯
	}
	c[x]=1;//回溯标记x点
	rnk.push_back(x);//记录路径序
	return 1;
}

bool toposort(void){
	memset(c,0,sizeof c);//初始化节点状态都为0
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (!c[i])//访问未标记的点
			if (!dfs(i)) return 0;//如果返回0，说明存在环，不存在路径序
	reverse(rnk.begin(),rnk.end());//翻转序列为拓扑序
	return 1;
}

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Kahn算法处理

用队列维护一个入度为 \(0\) 节点的集合，当一个节点 \(y\) 的入度为 \(0\) 时，此时该节点不被任何先序节点连接，即不存在未被访问过的有向边 \((x,y)\)

需要对每个节点都记录它的入度 \(dig_i\)

int dig[105];
vector<int> rnk;

bool kahn(void){
	queue<int> q;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (dig[i]==0)//初始状态将入度为0的节点加入队列
			q.push(i);
	while (q.size()){
		auto t=q.front();
		q.pop();
		rnk.push_back(t);//加入拓扑序
		for (auto v:e[t]){
			dig[v]--;//访问x,y有向边后，y节点入度-1
			if (dig[v]==0)//如果该节点入度为0
				q.push(v);//加入队列
		}
	}
	return rnk.size()==n;//如果拓扑序中元素个数大于节点数，说明存在环
}

bool f= kahn();
if (f)
	for (auto x:rnk) cout<<x<<' ';
else 
	cout<<-1<<endl;
return 0;

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以洛谷P4017为例

#include<bits/stdc++.h>
#define cintie ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define Trd int T;cin>>T;while (T--)solve();
#define LLinf 9e18;
#define Iinf 2e9
#define LL long long
#define Lc p<<1
#define Rc p<<1|1
#define lc(x) tr[x].ch[0]
#define rc(x) tr[x].ch[1]
 
using namespace std;

const int mod=80112002;

int n,m;
vector<int> e[5010];
int cnt[5010];
int od[5010],id[5010];

int main()
{
    cintie;
	cin>>n>>m;
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		e[a].push_back(b);
		od[a]++,id[b]++;//记录每个点的出度od和入度id
	}
	queue<int> q;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		if (id[i]==0)
			q.push(i),cnt[i]=1;//将入度为0的节点加入队列，食物链初始化1
	}
	int ans=0;
	while (q.size()){
		auto t=q.front();
		q.pop();
		for (auto it:e[t]){
			cnt[it]=(cnt[it]+cnt[t])%mod;//累计当前节点的食物链数
			id[it]--;
			if (id[it]==0){
				if (od[it]==0)
					ans=(ans+cnt[it])%mod;/如果走到了出度为0的节点（食物链端点），记录答案
				else 
					q.push(it);//否则加入队列
			}
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}