Astar 搜索算法

Astar A* 算法路径搜索应用

在求解路径问题时，往往会搜索许多不必要的路径，计算机无法简单地实现人的宏观思维

所以，可以给当前需要搜索的路径增设一个估价函数，令计算机判断当前的最优解，这样可以节省许多不必要的时间开支

估价函数预处理出每个状态到目标状态的所需代价的估计值 \(f(x)\)，实际值为 \(g(x)\)，应当满足估计值不大于实际值 \(f(x)\le g(x)\) （越接近越准确），这样的带有估价函数的优先队列 BFS 叫做 Astar 算法

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在 BFS 过程中，维护一个堆，每次取出堆中 当前代价+未来估价 的最小状态进行扩展

例如求解第 \(K\) 短路问题：给定 \(n\) 个节点与 \(m\) 条边的有向图，求从 \(s\) 到 \(t\) 的第 \(K\) 短路

未来估价函数的计算

设 \(f_i\) 表示第 \(i\) 个节点到 \(t\) 的距离，这里可以通过 Dijkstra 算法，以 \(t\) 为起点 \(s\) 为终点跑一遍，最后可以计算出精确的 \(f_i=g_i\)

注意需要额外存一张反向图，这里以 rhe 表示

struct edge{
	long long v,w;
};
vector<edge> rhe[5010];

void dijkstra(void){
	priority_queue<pair<long long,long long>> q;
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[t]=0;
	q.push({0,t});
	while (q.size()){
		auto t=q.top();
		q.pop();
		if (vis[t.second]) continue;
		vis[t.second]=1;
		for (auto iter:rhe[t.second]){
			if (f[iter.v]>f[t.second]+iter.w){
				f[iter.v]=f[t.second]+iter.w;
				q.push({-f[iter.v],iter.v});
			}
		}
	}
}

Astar的实现

正向跑一边优先队列的 BFS，堆中维护三元组 \(\{dis_{s,i}+f_i,i,d\}\)，按照 \(dis_{s,i}+f_i\) 从小到大排序

分别表示： \(s\) 到 \(i\) 的距离 + \(i\) 到 \(t\) 的未来估价函数，\(i\) 点编号，\(d\) 记录的总路径长度

在过程中，我们只允许每个点最多入队 \(K\) 次，当 \(t\) 节点第 \(K\) 次出队时，对应三元组中的 \(d\) 就为所求的第 \(K\) 短路

long long astar(void){
	priority_queue<node> q;
	q.push({f[S],S,0});
	while (q.size()){
		auto t=q.top();
		q.pop();
		cnt[t.v]++;
		if (cnt[T]==K)//终点出队k次
			return t.d;
		for (auto iter:he[t.v])
			if (cnt[iter.v]<K)
				q.push({t.d+iter.w+f[iter.v],iter.v,t.d+iter.w});
	}
	return -1;
}

如果需要求严格的第 \(K\) 短路，即当路径长度不同时才算为不同的第 \(K\) 短路，需要增设一个变量记录上一次的答案

如果这一次得到路径长度与上一次相同，那么就需要令 \(K+1\)（当前的路径无效）

struct node{
	long long s,v,d;
	bool operator<(const node&x)const{
		return s>x.s;
	}//重载运算符，使优先队列按照s从小到大排列
};

long long mem=-1;

long long astar(void){
	priority_queue<node> q;
	q.push({f[s],s,0});
	while (q.size()){
		auto t=q.top();
		q.pop();
		
		if (t.v==K){
			if (mem==t.d) K++;
			else mem=t.d;
		}
		
		cnt[t.v]++;
		if (cnt[T]==K)
			return t.d
		for (auto iter:he[t.v])//he表示正向图
			if (cnt[iter.v]<K)
				q.push({t.d+iter.w+f[iter.v],iter.v,t.d+iter.w});
	}
	return -1;
}