强连通分量

求强连通分量

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相关概念

强连通：在有向图 \(D\) 中，\(D\) 的任意两个节点连通

强连通分量：一张平凡图上的极大强连通子图

DFS 生成树：以图上某节点通过 DFS 访问的方式，与可达节点形成的树结构，依据树结构图上的边主要分为四类

树边：在 DFS 生成树上连接两个节点的边，在图上为每次搜索找到一个还没有访问过的结点时通过的一条边

返祖边：图上的一条边，他的始点在 DFS 生成树上的祖先是这条边的终点

横叉边：图上的一条边，他的始点在 DFS 生成树上的祖先不是这条边的终点，但终点在之前已经被访问过

前向边：图上的一条边，他的始点在 DFS 生成树上的儿子是这条边的终点

返祖边与树边一定能构成环，横叉边与树边可能构成环

强连通分量的根：某强连通分量在 DFS 生成树中遇到的第一个节点，该强连通分量的其余节点一定也在这个节点为根的子树中

Tarjan算法

对每个节点 \(x\) 都维护出它在 DFS 搜索树上的时间戳 \(dfn_x\)（DFS 过程中被搜索到的次序），以及 \(x\) 能访问到的最早时间戳 \(low_x\) （追溯值）

vector<int> e[N];
vector<int> stk;//模拟栈
int dfn[N],low[N],tot;
int scc[N],siz[N],cnt;
bool instk[N];

void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++tot;
	stk.push_back(x),instk[x]=1;
	for (auto v:e[x]){
		if (!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[x]=min(low[x],low[v]);
		}else if (instk[v])
			low[x]=min(low[x],dfn[v]);
	}
	
	if (low[x]==dfn[x]){
		int t;
		cnt++;
		do{
			t=stk.back();
			stk.pop_back();
			instk[t]=0;
			scc[t]=cnt;
			siz[cnt]++;
		}while (t!=x);
	}
}

每进入一个节点时，初始化节点的 \(dfn_x,low_x\) 为当前的次序号 \(tot\)，并将这个节点放进栈中，标记节点已入栈

枚举当前节点的邻边，根据不同类型进行操作

for (auto v:e[x]){
	if (!dfn[v]){//如果邻点还没有被访问到，则该边为树边
		tarjan(v);//dfs访问v
		low[x]=min(low[x],low[v]);//返回更新当前x的追溯值
	}else if (instk[v])//如果v被访问，且在栈内，则该边为横叉边或返祖边
		low[x]=min(low[x],dfn[v]);//返回更新当前x的追溯值
}

如果一个节点在遍历完它的所有儿子后，\(dfn_x\) 没有变小那么说明他就是一个强连通分量的根（在他可连通的节点中不存在能够到达之前访问过的节点），依次取出栈内元素，直到栈顶元素为 \(x\)

if (low[x]==dfn[x]){
	int t;
	cnt++;//强连通分量数+1
	do{
		t=stk[top--];//取出栈顶元素
		instk[t]=0;//标记出栈
		scc[t]=cnt;//更新栈顶元素所在的强连通分量
		siz[cnt]++;//记录该强连通分量拥有的节点数
	}while (t!=x);
}

核心思想是通过 \(low_x\) 判断是否能回到 \(DFS\) 路径的起点，从而切割出 \(scc\)

Kosaraju算法

第一遍 DFS 处理出每个节点的时间戳，回溯时将时间戳较大的节点放进栈内（强连通分量的根一定是最后完成的）

根据这样一个结论：将一个强连通分量中所有边反向后，形成的仍然为一个强连通分量

从栈顶依次取元素，如果该点未处于一个强连通分量中，那对该节点进行第二次 DFS，在逆图中枚举他能够到达的所有点，这些点集构成一个极大强连通分量

每次取出的元素，都作为他所在强连通分量的根

int n,m;
vector<int> e[N],re[N];
vector<int> stk;
bool vis[N];
int scc[N],siz[N],cnt;

void dfs1(int x){
	if (vis[x]) return;
	vis[x]=1;
	for (auto v:e[x])
		dfs1(v);
	stk.push_back(x);
}

void dfs2(int x){
	if (scc[x]) return;
	scc[x]=cnt;
	siz[cnt]++;
	for (auto v:re[x])
		dfs2(v);
}

void kosaraju(){
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (!vis[i])
			dfs1(i);
	for (int i=stk.size()-1;i>=0;i--){
		if (!scc[stk[i]]){
			++cnt;
			dfs2(stk[i]);
		}
	}
}

核心思想在于划分一个强连通分量前，封锁他与外界连通的道路