图论 - 随笔分类 - dengchengyu

最小割树小记

摘要：最小割树小记算法问题如下：给定一张无向图（\(n\le 500,m\le 1500\)），点有点权，\(Q\) 次（\(Q\le n^2\)）询问两点 \(S,T\) 之间的最小割。可以建出最小割树，建树过程如下：对于给定的点集，随便找两个点 \(S,T\) 求出 \(S,T\) 在原图上阅读全文

posted @ 2025-10-16 21:55 dengchengyu 阅读(3) 评论(0) 推荐(0)

网络流复杂度小记

摘要：网络流复杂度小记记 \(E\) 为边数，\(V\) 为点数，\(F\) 为流量。 Dinic 最大流：\(O(V^2E)\)。单位容量网络下 Dinic 最大流：\(O(E\sqrt V)\)。二分图匹配下 Dinic 最大流：\(O(E\sqrt V)\)。最小费用最大流：\(O(FEV 阅读全文

posted @ 2025-10-05 19:58 dengchengyu 阅读(6) 评论(0) 推荐(0)

上下界网络流小记

摘要：上下界网络流小记每条边有流量的上下界，记下界为 \(L\)，上界为 \(R\)。无源汇上下界可行流要求给每条边标定一个范围内流量使得每个点流量平衡。考虑先给每条边流 \(L\)。对于一个点记入度减出度为 \(d\)，若 \(d>0\) 则从源点向它连容量 \(d\) 的边；否则从它向新建汇点阅读全文

posted @ 2025-10-05 19:57 dengchengyu 阅读(9) 评论(0) 推荐(0)

无向图三元环计数小记

摘要：无向图三元环计数先给每条边定向：由度数小的点连向度数大的点，若度数相等则按编号。这样一个合法的三元环 \((x,y,z)\) 一定形如 \(x\to y,x\to z,y\to z\)。考虑枚举 \(x\)，把所有 \(z\) 打上标记，再枚举 \(y\) 与 \(y\) 的出边 \(w\)，阅读全文

posted @ 2025-10-05 19:04 dengchengyu 阅读(8) 评论(0) 推荐(0)

欧拉路径 & 欧拉图小记

摘要：欧拉路径 & 欧拉图小记 P7771 【模板】欧拉路径欧拉路径：一个图中经过每条边恰好一次的路径，允许经过重复点。欧拉回路：起点与终点相同的欧拉路径。对于连通图，欧拉路径有如下判定：对于无向图，恰好有两个点度数为奇数时，存在起点与终点不同的欧拉路径，且起点与终点就是这两个奇度数的点。对于阅读全文

posted @ 2025-10-05 17:24 dengchengyu 阅读(7) 评论(0) 推荐(0)

广义串并联图小记

摘要：广义串并联图小记定义与性质定义广义串并联图为不存在与 \(K_4\)（即 \(4\) 个点的完全图）同胚的子图的连通无向图（同胚是指可以通过边的放缩而互相转化的图，即 \((x\leftrightarrow y\leftrightarrow z)\Leftrightarrow (x\leftr 阅读全文

posted @ 2025-09-30 12:28 dengchengyu 阅读(6) 评论(0) 推荐(0)

abc419 G Count Simple Paths 2 题解

摘要：abc419_g 题解赛时通过。考虑这样一种做法：首先在原图中找到一棵生成树，然后对所有非树边的两个端点与 \(1,n\) 建虚树，然后在虚树上暴力搜索所有简单路径。复杂度为 \(O(n\log n+(m-n)\sum ans_i)\)。考虑正确性：我们发现，如果选出一个非树边集合，那么能够恰好阅读全文

posted @ 2025-08-16 21:41 dengchengyu 阅读(78) 评论(0) 推荐(0)

Hall 定理学习笔记

摘要：Hall 定理学习笔记 Hall 定理对于一个左部有 \(x\) 个点，右部有 \(y\) 个点的二分图（\(x\le y\)）的完备匹配是指，左部所有点都被匹配。 Hall 定理给出这个二分图存在完备匹配的充要条件：当且仅当对于左部点点集 \(L\) 的任意子集 \(S\) 满足 \(|S|\ 阅读全文

posted @ 2025-08-14 14:30 dengchengyu 阅读(20) 评论(0) 推荐(0)

最小割：最大权闭合子图

摘要：最小割：最大权闭合子图最大权闭合子图给一个 DAG，你要选一个子图，如果一个点被选则要求它的所有后继节点都必须选，求可选的合法子图的最大权。最小割模型我们这样建模：对于边 \(u\to v\)，连一条 \(u\to v\) 的容量为 \(\inf\) 的边。对于 \(val_x\ge 0 阅读全文

posted @ 2025-03-04 22:07 dengchengyu 阅读(14) 评论(0) 推荐(0)

HNOI2016 矿区题解

摘要：[HNOI2016] 矿区 Solution 神仙计算几何加图论题。题目大意：给定一个连通平面图，平面图被分成很多个面，每次询问一个多边形的贡献，贡献是其中每个面的面积的平方和除以面积和。解题思路：我们需要把一个多边形内的每个面一起算，可以考虑对每个面之间连边，建出一棵生成树。实际上就是平面阅读全文

posted @ 2024-12-28 07:49 dengchengyu 阅读(20) 评论(0) 推荐(0)

ZJOI2016 旅行者题解

摘要：ZJOI2016 旅行者题解题目大意：给定一个 \(n\times m\) 的网格图，相邻的四连通的点之间有给定边权的双向边，有 \(Q\) 个离线询问，问两个点之间的最短路。 \(n\times m\le 2\times 10^4,Q\le 10^5\)。发现了吗？和上次省选组的三角剖分那阅读全文

posted @ 2024-12-24 16:30 dengchengyu 阅读(44) 评论(0) 推荐(0)

[复习] 种类并查集 & 2-XOR-SAT

摘要：[复习] 种类并查集种类并查集也可叫做扩展域并查集。前言自从两年多前刚学并查集时过了食物链后，就再也没有写过种类并查集。今天回顾一下。例题 1 食物链 P2024 [NOI2001] 食物链。题目大意：有 \(n\) 个动物，每个动物属于 \(A,B,C\) 种中的一种，\(A\) 吃阅读全文

posted @ 2024-11-26 21:19 dengchengyu 阅读(105) 评论(0) 推荐(0)

树的重心

摘要：树的重心本文介绍了树的重心及其性质、如何动态维护修改权值的带权重心、如何寻找断边再加边的带权重心。无根树的重心定义为：令 \(x\) 为树根，有 \(y\) 与 \(x\) 相邻，使得 \(y\) 的子树大小的最大值最小，这样的 \(x\) 即树的重心。重心有 1 个或 2 个，若有 2 阅读全文

posted @ 2024-11-26 08:15 dengchengyu 阅读(431) 评论(1) 推荐(2)

[复习] 图连通性

摘要：[复习] 图连通性搜索生成树定义（无向边方向是边第一次被遍历时所指的方向）树边，搜索到一个新的点连的边，构成生成树。返祖边，搜索到一个指向当前点到根的路径上的一个点的边。前向边，指向生成树子树内一个点的边。横叉边，其他边，指向兄弟子树。有向图dfs生成树以上四种边都有。无向图dfs 阅读全文

posted @ 2024-10-25 07:04 dengchengyu 阅读(35) 评论(0) 推荐(0)

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