无向图三元环计数 小记

无向图三元环计数

先给每条边定向：由度数小的点连向度数大的点，若度数相等则按编号。

这样一个合法的三元环 \((x,y,z)\) 一定形如 \(x\to y,x\to z,y\to z\)。

考虑枚举 \(x\)，把所有 \(z\) 打上标记，再枚举 \(y\) 与 \(y\) 的出边 \(w\)，统计 \(w\) 被打上标记的个数。复杂度其实是 \(O(m\sqrt m)\) 的。

证明：

• 对于度数小于等于 \(\sqrt m\) 的 \(y\)，枚举 \(w\) 的复杂度为显然 \(O(m\sqrt m)\)。
• 而对于度数大于 \(\sqrt m\) 的 \(y\)，由于其只能向度数不小于它的点连边，而度数和是 \(O(m)\) 的，所以其只能连 \(O(\sqrt m)\) 个点，这部分枚举 \(w\) 的复杂度也是 \(O(m\sqrt m)\)，因此总复杂度就是 \(O(m\sqrt m)\)。