计算几何图形学CG - 随笔分类(第2页) - 白途思

5§7 二次曲线方程的化简与分类

摘要：§7 二次曲线方程的化简与分类一方程的化简： 1 中心曲线方程的化简：对中心曲线F（x,y）=0，令O′（，）为其中心，若将坐标原点平移至O′，则新方程中将不含一次项，再选取适当的θ角，作旋转变换，还可消去方程中的交叉乘积项，最终中心曲线的方程可化简为（1）由于， ∴全不为0，从而中心曲线（1）关于新系的x′， y′轴对称，即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时，则曲线的... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 15:00 白途思阅读(2307) 评论(0) 推荐(0)

5§2 二次曲线的渐近方向、中心和渐近线

摘要：§2 二次曲线的渐近方向、中心和渐近线一渐近方向：定义：若一方向X：Y（即与矢量{X，Y}平行的方向）满足Φ（X，Y）=0，则称其为二次曲线F（x,y）=0的一渐近方向。存在性：命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地（i）当=>0时，曲线有二共轭复渐近方向；（ii）当<0时，曲线有二不同实渐近方向；（iii）当=0时，曲线有二相同实渐近方向。事实上，... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 14:59 白途思阅读(4025) 评论(0) 推荐(0)

5§1 复元素的引进，二次曲线与直线的交点

摘要：§1 复元素的引进，二次曲线与直线的交点一平面上的复元素设在平面上建立了一个直角坐标系{O；i，j}，今将平面上点的概念扩充如下：任意一对有序复数（x,y）都是平面上一点p的坐标，若x,y全为实数，则称p为实点，否则称p为虚点，实点和虚点统称为复点。点的概念扩充以后，原来的实平面即变为复平面。今在复平面上引入下列复元素：（1）复矢量：以（,）为始点，（,）为终点的复矢量定义为： ... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 14:55 白途思阅读(753) 评论(0) 推荐(0)

第5章二次曲线的一般理论

摘要：第5章二次曲线的一般理论本章教学目的：通过本章学习，使学生在掌握二次曲线几何性质的基础上，熟悉化简二次曲线方程的各种方法，进而了解二次曲线的分类。本章教学重点：（1）二次曲线的各种几何性质；（2）二次曲线方程的各种化简方法；（3）二次曲线的形状。本章教学难点：（1）二次曲线直径、共轭直径及主直径的直观几何解释；（2）利用坐标变换法和不变量法化简二次曲线方程。本章教学内容： §0 ... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 14:53 白途思阅读(922) 评论(0) 推荐(0)

4§7 二次曲面的直纹性

摘要：§7 二次曲面的直纹性一定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。二单叶双曲面的直纹性: 设有单叶双曲面（1）（1）等价于（）（）= （2）即：=：（3）对 λ≠0，方程组（4）表示一直线... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 13:46 白途思阅读(2207) 评论(0) 推荐(0)

4§6 抛物面

摘要：§6 抛物面例：面上抛物线绕轴旋转，所得旋转面为，即。此曲面称为旋转抛物面，将该曲面推广便有：一椭圆抛物面： 1、定义：在直角系下，由方程（a,b>0）（1）所表示的图形称为椭圆抛物面；而（1）称为椭圆抛物面的标准方程。注：在直角系下，由方程或所表示的图形也是椭圆抛物面。 2、性质和形状：（i）对称性：椭圆抛物面（1）关于z轴，面，面对称，在... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 13:45 白途思阅读(1624) 评论(0) 推荐(0)

3§8 平面束与平面把

摘要：§8 平面束与平面把一平面束： 1定义：空间中过一定直线的所有平面的集合称为有轴平面束，称为这平面束的轴；空间中平行于一定平面的所有平面的集合称为平行平面束。有轴、平行平面束统称为平面束。 2 方程：定理1：对任一对确定的不全为0的实数λ，μ，方程 λ（x+y+z+）+μ（x+y+z+）=0 （1）表示过二相交平面：x+y+z+=0 ， i=1，2 的交线的一个平面；反... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 13:43 白途思阅读(757) 评论(0) 推荐(0)

3§7 直线与平面的位置关系

摘要：§7 直线与平面的位置关系一各种位置关系的解析条件：设直线L：与平面π：Ax+By+Cz+D=0 则 L与π相交〈═〉（，,）=Lπ〈═〉唯一的，使 A（+X）+B（+Y）+C（+Z）=0〈═〉AX+BY+CZ≠0 ∴有 L与π相交〈═〉AX+BY+CZ≠0； L∥π〈═〉不存在唯一的t使（+tX）+B（+tY）+C（+tZ）+D=0 〈═〉AX+BY+CZ=0 L在π上〈═〉存在无穷多个t使A（+tX）+B（+tY）+C（+tZ）+D=0 〈═〉AX+BY+CZ=A+B+C+D=0 推论：L∥π但L不在π上〈═〉AX+BY+CZ=0，但A+B+C≠0 二直线与平面的交角：阅读全文

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3§6空间两直线的相关位置

摘要：§6空间两直线的相关位置一空间两直线的位置关系：设二直线： i=1，2。下面讨论空间两直线的相关位置问题.如图所示，由直线上定点，上的定点，得矢量，根据三矢量的关系可得下面的定理.定理3.6.2 空间两直线（1）与（2）的相关位置关系的充要条件是10 异面： ; (3.6-3)20相交：，；（3.6-4） 30平行：；（3.6-5）40重合：. （3.6-6... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 13:41 白途思阅读(284) 评论(0) 推荐(0)

3§5 点与直线的位置关系

摘要：§5 点与直线的位置关系设空间中有一点（,,）及一直线 L：r=+ tv 若令=，则∈L，记到L的距离为d（，L）则如图 S◇=∣ V∣ =∣v∣d（m，l） ∴d（m,L）= 若在直角系下，v={X，Y，Z}，则 d（M，L）= 阅读全文

posted @ 2010-09-04 13:40 白途思阅读(403) 评论(0) 推荐(0)

§3 两平面的相关位置

摘要：§3 两平面的相关位置一两平面的夹角：定义两平面的法线向量的夹角称作两平面间的夹角.下面，我们阐述一下用两平面间法线向量的夹角来定义两平面间夹角的合理性.如图3-4所示，设想平面与平面重合在一起的，于是它们的法线向量应平行，即 .将平面的一侧向上提起，与之间产生倾角，与此同时，的法线向量发生转动，与平面的法线向量产生的角度. 下面，我们导出计算两平面夹角的公式.设平面与的方程... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 13:09 白途思阅读(571) 评论(0) 推荐(0)

§ 4 空间直线的方程

摘要：§ 4 空间直线的方程一空间直线的一般方程：空间直线可看成两平面和的交线.事实上，若两个相交的平面和的方程分别为：：那么空间直线上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组 (3.4-1)反过来，如果点不在直线上，那么它不可能同时在平面和上，所以它的坐标不满足方程组(3.4-1).因此，可用方程组(3.4-1)表示，方程组(3.4-1)叫做空间直线... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 13:09 白途思阅读(983) 评论(0) 推荐(0)

§2 点与平面的位置关系

摘要：§2 点与平面的位置关系一离差：定义：设n°为自原点指向平面π的单位矢量，为空间中一点，自向π引垂线，垂足为，称在法矢n°上的射影 δ=射影n°= ·n°=∣∣cos∠（，n°） =±∣∣为与π间的离差可见，当位于π的n°指向的一侧时δ>0，否则δ<0 (图3.2) 计算：命题：若平面的法式方程为，则与间的离差事实上， ... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 11:08 白途思阅读(703) 评论(0) 推荐(0)

第三章平面与空间直线

摘要：第三章平面与空间直线本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，熟练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角。本章教学重点：（1）空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式；（2）平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；（3）平面与空间直线各种度量关系的量化公式。本章教学难点：（1）空间直线一般方程向标准方程的... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 11:07 白途思阅读(627) 评论(0) 推荐(0)

§4 空间曲线的方程

摘要：§4 空间曲线的方程一普通方程 1 定义:设L为空间曲线,为一三元方程组,空间中建立了坐标系之后,若L上任一点M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线L上,则称为曲线L的普通方程,又称一般方程,记作 L: (图2.8) 注: 1°在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组; 2°用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线看成了二曲面... 阅读全文

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§3 柱面方程与柱面坐标

摘要：§3 柱面方程与柱面坐标一母线平行于坐标轴的柱面方程 1 定义：一动直线l在运动过程中，总是平行于一定方向V。，且总与一曲线c相交，则l的运动轨迹称为柱面，其中V。——柱面的方向，c——柱面的准线，l的任一位置——柱面的母线。 2 方程及特征：定理：在空间坐标系下，三元方程F（x,y,z）=0为一母线，平行于z轴的柱面的方程〈═〉该方程同解于一关于x,y的二元方程f（x,y）=... 阅读全文

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§2 球面方程与球面坐标

摘要：§2 球面方程与球面坐标一球面的方程 1 定义：在空间直角坐标系下，方程（x-a）²+（y-b）²+（z-c）²=R （R为实数）所表示的图形称为（广义）球面，其中（a,b,c）称为其中心称为其半径。不难看出，广义球面包括普通球面，一个点和虚球面 2 方程的特征定理：在空间直角坐标系下，三元方程F（x,y,z）=0为一球面的方程〈═〉该方程同解于一个平方项系数相等... 阅读全文

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第2章曲面与空间曲线的方程 §1 曲面的方程

摘要：第2章曲面与空间曲线的方程本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程。本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义。本章教学难点：（1）空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有关平面曲线方程的区别；（2）空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示。本章教学内容： §1 曲面的方程一普通方程： ... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 10:59 白途思阅读(1683) 评论(0) 推荐(0)

§9 三矢量的混合积

摘要：§9 三矢量的混合积定义1 给定空间的三个矢量，我们叫做三矢量的混合积，记做或.定理1 三个不共面矢量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，并且当构成右手系时混合积为正；当构成左手系时混合积为负.证由于矢量不共面，所以把它们归结到共同的试始点可构成以为棱的平行六面体，它的底面是以为边的平行四边形，面积为，它的高为，体积是.根据数性积的定义，其中是与的夹角.当构成右手系时，，，因而... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 10:58 白途思阅读(2174) 评论(0) 推荐(0)

§8 两矢量的矢量积

摘要：§8 两矢量的矢量积定义1 设矢量c是由两个矢量a与b按下列方式定出：c的模 |c|=|a||b|sin q , 其中q 为a与b间的夹角；c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定，我们把这样的矢量c叫做矢量a与b的矢量积, 记作a´b, 即c=a´b. 从定义知矢量积有下列性质： (1) a´a=0  (2) 对于两个非零矢量a，b,... 阅读全文

posted @ 2010-09-04 10:56 白途思阅读(1319) 评论(0) 推荐(0)

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