§ 4 空间直线的方程

§ 4 空间直线的方程

一 空间直线的一般方程：

空间直线可看成两平面和的交线.事实上，若两个相交的平面和的方程分别为

：

：

那么空间直线上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组

(3.4-1)

反过来，如果点不在直线上，那么它不可能同时在平面和上，所以它的坐标不满足方程组(3.4-1).

因此，可用方程组(3.4-1)表示，方程组(3.4-1)叫做空间直线的一般方程.

一般说来，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就得到了空间直线的方程.

 

二 空间直线的对称式方程和参数方程：

若一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称之该直线的方向向量.显然，直线上的任何向量均平行于直线的方向向量。

我们知道，过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，因此，当直线上的一点和它的一个方向向量给定之后，空间直线的位置就完全确定下来了.

下面，我们来建立这种直线的方程.

 

如图3-5，设是直线上的任一点，则 ，

而

，

故     . (3.4-2)

反过来，如果点不在直线上，则与不平行，从而(2)式不成立.

因此，方程组(3.4-2)就是直线的方程.称此方程为直线的对称式方程.

直线的任一方向向量的坐标叫做该直线的一组方向数，而它的方向余弦叫做该直线的方向余弦.

如设

则      (3.4-3)

方程组(3.4-3)叫做直线的参数方程.

例1 用对称式方程及其参数方程表示直线

解 先找出这直线上的一点，如：取 代入方程组得

解此二元一次方程组得 ，

于是，得到直线上的一点 .

再找该直线的一个方向向量，由于两平面的交线与两平面的法线向量

都垂直，可取

，

因此，所给直线的对称式方程为

；

直线的参数方程为