5§2 二次曲线的渐近方向、中心和渐近线

§2 二次曲线的渐近方向、中心和渐近线

一 渐近方向：

定义：若一方向X：Y（即与矢量{X，Y}平行的方向）满足Φ（X，Y）=0，则称其为二次

曲线F（x,y）=0的一渐近方向。

存在性：

命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地

（i）当=>0时，曲线有二共轭复渐近方向；

（ii）当<0时，曲线有二不同实渐近方向；

（iii）当=0时，曲线有二相同实渐近方向。

事实上，X：Y为渐近方向〈═〉Φ（X，Y）=0〈═〉X²+2XY+Y²=0

〈═〉X：Y=（-±）：

可见，对椭圆 ， ∵==>0

∴它有二共轭复渐近方向；对双曲线，=-<0，

∴它有二不同实渐近方向；对抛物线y²=2px，==0

∴它有二相同的实渐近方向；由此，称仅有复渐近方向的二次曲线为椭圆型曲线；有二不同实渐近方向的二次曲线为双曲线型曲线；有二相同实渐近方向的二次曲线为抛物型曲线。

二 中心：

1、定义：二次曲线上任意两点间的连接线段，若不沿渐近方向，则称其为弦。若存在一点C，使得过C的任一弦均被C平分，则称C为二次曲线的中心。

显然：二次曲线的中心正是它的对成中心。

2、求法：

定理1：点C（，）是二次曲线F（x,y）=0之中心〈═〉，是方程组

（*） 的解

证："═〉"设C（，）是中心，而是过C的任一弦，该弦所在直线

l： ， Φ（X，Y）≠0

令（+X ，+Y），i=1，2，则，是方程

Φ（X，Y）t²+2[（，）X+（，）Y]t+F（，）=0的根

而

=

=+ ∴+=0

∴（，）X+（，）Y=0，由弦的任意性

∴（，）=（，）=0

"〈═"若C（，）的坐标满足（，）=（，）=0 过C任取曲线的弦，其方向为X：Y，从而若令（+tX，+tY），i=1，2，则，应是（*）二个根。

∵（，）X+（，）Y=0 ∴+=0

∵的中点坐标为

    

即C（，）是弦的中点 ∴C为中心

注：若一条二次曲线有唯一中心，则称其为中心二次曲线；没有中心的二次曲线称为无心二次曲线；有不止一个中心的二次曲线称为线性二次曲线，

关于上述三种二次曲线的判别标准，我们有

定理2：

（i）二次曲线为中心二次曲线 〈═〉≠0

（ii）二次曲线为无心二次曲线 〈═〉=0，但：≠：

（iii）二次曲线为线性二次曲线 〈═〉=0且：=：

事实上，（i）二次曲线为中心二次曲线〈═〉（*）有唯一解〈═〉≠0

（ii）二次曲线为无心二次曲线〈═〉（*）无解〈═〉

秩≠秩〈═〉

=0但≠0〈═〉=0且：≠：

（vi）二次曲线为线性二次曲线〈═〉（*）有不止一个解〈═〉I2=0且

：=：

注：对线性二次曲线，由于：=：=： ∴方程组（*）同解于（x,y）≡x+y+=0 即线性二次曲线的中心充满直线

x²+y+=0——中心直线

三 渐近线：

定义：过二次曲线的中心且沿其渐近方向的直线称为渐近线。

可见：椭圆型二次曲线有二共轭复渐近线；双曲型二次曲线有二不同实渐近线；而对抛物型二次曲线，若其为无心的，则其没有渐近先，若其为线性的，则由于其渐近方向为X：Y=-：，而这正是中心直线的方向，∴它的渐近线即为中心直线。

求法：

法1：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。

法2：求出中心C（，），对渐近线上任一点M（x，y），则（x-）：（y-）为渐近方向， ∴Φ（x-，y-）=0

性质：

命题：二次曲线的渐近线或者与曲线不交，或者整个位于曲线上，事实上，设

l：为渐近线，其中（，）为中心，X：Y为渐近方向

∴Φ（X，Y）=0且（，）=（，）=0，∴若F（，）≠0，

则l与曲线不变，若F（，）=0，则l整个在曲线上。