§7 二次曲面的直纹性
一 定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。
注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。
试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。
二 单叶双曲面的直纹性:
设有单叶双曲面 
（1）
（1）等价于 （
）（
）=
（2）
即 
：
=
：
（3）
对
λ≠0，方程组
（4）
表示一直线，另外
（5） 及
（6）
也表示直线。显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。再者对
（
，
，
）∈（1） 有
注意1+
与1-
不全为0
1°若1+
≠0
当
，令λ=
则 
∈（4）
当
时，则1-
=0，则
∈（5）
2°若1+
=0，则1-
≠0
当
取λ=
≠0 则
∈（4）
当
时，有
∈（6）
∴有：单叶双曲面是由直线族（4）-（6）构成的 ∴单叶双曲面是直纹面。同理，由
μ≠0 （4′）
（5′）
及
（6′）
组成的直线族也可构成单叶双曲面（1），为方便记忆，将（4）—（6）和（4′）-（6′）写成如下统一形式
u,u′不全为0 （7）
v，v′不全为0 （7′）
分别称（7）（7′）为单叶双曲面（1）的u族，v族直母线。
三 双曲抛物面的直纹性：
对于双曲抛物面 
（1）
有 
（2）
与单叶双曲面的情形完全类似，可以证明：直线族：
u为任意实数 （3）
可构成双曲抛物面（1） 而
v为任意实数 （3′）
也可构成双曲抛物面 ∴（1）是直纹面，分别称（3），（3′）为双曲抛物面（1）的
u族，v族直母线。
四 单叶双曲面、双曲抛物面的直母线性质：
定理1：单叶双曲面的直母线有如下性质：
（i）同族中任二直母线异面，不同族中任二直母线共面；
（ii）过单叶双曲面（1）上某一点
，某一族中有且仅有一条直母线；
（iii）经过一条直母线的某一平面也必经过属于另一族的一条直母线；
（vi）同族中任三直母线不能平行于同一平面。
证：（i）任取单叶双曲面（1）的二u族直母线
li
i=1，2
则 
=
= -
（
′-
′）≠0
∴
，
异面 同理可证不同族中任二直母线共面。
（ii）略。
（iii）任取一u族直母线
：
经过
的平面π：
v′[u（
即
∴π过一v族直母线
：
（vi）任取三u族直母线 
：
i=1，2，3
则 
的方向矢为{
（
，
，
}
由行列式
- =
=
=-
≠0
∴三直线不平行于同一平面。
定理2：双曲抛物面的直母线有如下性质：
（i）同族中任二直母线异面，不同族中任二直母线相交；
（ii）过双曲抛物面上一任点
，一族中有且仅有一直母线；
（iii）同族中的所有直母线均平行于一定平面。
证：仅证（iii）对u族直母线
其方向矢为{
} ∴该直母线平行于平面bx+ay=0 。
