第三章 平面与空间直线

第三章 平面与空间直线

本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，熟练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角。

本章教学重点：（1）空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式；

（2）平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；

（3）平面与空间直线各种度量关系的量化公式。

本章教学难点：（1）空间直线一般方程向标准方程的转化；

（2）综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程。

本章教学内容：

 

§1 平面的方程

一 方程的建立：

约定：π——表示平面；

定义：与平面π平行的一对非共线矢量，称为π的方位矢量；与π垂直的非0矢量，称为π的法线矢量，简称法矢量。

1.已知π上一点及其方位矢量时：

建立坐标系，设==对动点,设

r= ={x,y,z}，则M∈π，a,b共面r-r。，a，b共面

=ua+vb+ua+vb ————π的矢量式参数方程 （1）

若令a={，，}，b={，，}，则

————π的坐标式参数方程 （2）

为得到π的普通方程，我们有

M∈π ，a，b共面

=0 ——————π的普通方程 （3）

（1）——（3）统称为π的点位式方程。

2。已知平面π上三非共线点（i=1，2，3）：

建立坐标系{O；,,}，设ri= ={，，}，i=1，2，3.对动点M，

令

r=={x,y,z}，由（1），（2），（3）有 M∈π

r=+u（-）+v（-r1） （4）

（5）

=0 （6）

（4）——（6）统称为平面的三点式方程

特别地，若是π与三坐标轴的交点，即（a，0，0），（0，b，0），

（0，0，c）， （abc≠0），则

M∈π=0

 

即 ——————π的截距式方程 （7）

其中a,b,c称为π在三坐标轴上的截距。

3 已知平面π上一点及其法矢量n：

建立直角坐标系{O；i，j，k}，设= ={x。，y。，z。}，n={A，B，C}，

 

(图3.1)

对动点M，令r=={x,y,z}，则

M∈π⊥nA（x-x。）+B（y-y。）+C（z-z。）=0 （8）

————π的点法式方程或法线式方程

特别地，若M。是自O向π所作垂线的垂足，而

n：=，且记 ∣∣=， r。= =n

∴m∈πn（r-r。）=0nr-nr。=0〈═〉

cosαx+cosβy+cosγz-P=0 （9）

其中n={cosα，cosβ，cosγ}，该方程称为π的法式方程，它有如下特征：

1°一次项系数的平方和等于1；

2°常数项-P≦0。

 

二 平面的一般方程：

在空间坐标系下，对任一平面π，都可利用其上一点及方位矢量a，b将其方程写成

Ax+By+Cz+D=0 （10）

其中A=，B=，C=

由于a{，，}与b{，，}不共线，∴（10）是一三元一次方程。

反之，给一三元一次方程（10），不妨设A≠0，取三点

P。（-）， （-， （-，

由于={-， ={-

∴╫，即，，，不共线，从而它们确定的平面π的方程为

=0

展开即为（10） ∴我们有

定理（平面方程基本定理）：在空间坐标系下，任意平面的方程均可表为三元一次方程，而且任一三元一次方程也可表示空间中的一个平面。

称方程（10）为平面π的一般方程。

三 一般方程向法式方程的转化：

在直角坐标系下，若已知π的一般方程为Ax+By+Cz=0，则{A，B，C}是π的法矢量，

而法式方程（9）中的一次项系数是π的一特殊单位法矢量的分量。

∴若将一般方程化为法式方程只需在一般方程两边同乘以因子

λ= ± 有

λAx+λBy+λCz+λD=0

再据λD≦0选取λ的符号即可。

例：略。