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插入 DP 总结 引 插入 DP 是一类非常巧妙的 DP，常用于计数、求概率、期望，也可用于求最值。具体地，它会用来求排列、划分相关信息等，这些排列、划分都有一定特征。 通常使用维护多个连续段信息的方法来解决。 状态 由于维护信息中通常有连续段个数这一维，且转移复杂不宜使用数据结构优化，导致其大小一 阅读全文
posted @ 2025-11-26 18:38
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UTS Open '21 P7 - April Fools 题解 知识点 插入计数 DP。 分析 首先可以看出，这道题目是一道计数 DP，且在贪心地升序排序之后，我们的问题会变得更好求解。 其次，一个数据范围在 \(O(n^3)\) 的排列计数题，很容易想到插入 DP，那么我们就有了基本的思路： 维 阅读全文
posted @ 2025-11-25 22:17
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冒泡排序二合一 题解 知识点 线段树，树状数组，主席树。 题意简述 给定一个排列 \(a\)，有下列两种询问： 给定 \(l,r,k,x\)，求将 \(a\) 的区间 \([l,r]\) 冒泡排序 \(k\) 轮之后，\(x\) 这个数在数组中的位置。 给定 \(l,r,k,x\)，求将 \(a\) 阅读全文
posted @ 2025-11-24 21:57
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AT_cf16_exhibition_final_f Intervals 题解 知识点 贪心，DP。 分析 可以证明有一个区间一定不动，分奇偶即可。 接下来很直观地可以感受到要把区间分到两边，且短的放在离不动区间近的会更优，所以我们降序排序。 进一步地，把区间对半分开放到左右也会让答案不劣，这就与初 阅读全文
posted @ 2025-11-24 20:07
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[ROIR 2018] 管道监控 (Day1) 题解 知识点 Trie，Hash，树形 DP。 分析 其实很容易就可以想到全部解法，考虑 DP。 由于字符串长度较长，肯定有一维需要用来记延后处理的字符串，然后我们发现状态就没别的了，于是设 \(f_{u,i}\) 表示 \(u\) 节点处选取字符串往 阅读全文
posted @ 2025-11-23 15:26
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[ROIR 2022] 礼物 (Day 2) 题解 知识点 链表。 分析 首先看到数据范围 \(k\le\min(100,n)\)，说明复杂度与 \(k\) 有关，那么我们就可以考虑暴力一点地解决这个问题。 一开始我们可以想到按顺序插入数值，这样会有较好的性质，比如从大到小插入一个 \(u\) 时， 阅读全文
posted @ 2025-11-23 15:02
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[ROIR 2024] 树根 (Day 1) 题解 知识点 树剖，线段树，二分。 分析 首先可以想到二分上界 \(lim\)，那么我们贪心地从深度最大的节点开始遍历，如果深度 \(>lim+1\)，就暴力地往上找 \(lim-1\) 级祖先，然后和根连一条额外的边。一直重复上述过程直到所有点深度都 阅读全文
posted @ 2025-11-21 18:46
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[ROIR 2024] 二叉树的遍历 (Day 2) 题解 知识点 分块。 分析 首先考虑对查询 \(u\) 有影响的操作： 子孙节点： 当 \(c_u = 0\) 时，它的左子树需要计入。 当 \(c_u = 1\) 时，它的左右子树都需要计入。 祖先节点： 设某个祖先为 \(anc\)。 当 \ 阅读全文
posted @ 2025-11-21 18:18
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偏序问题专题 前言 在 OI 中，我们常常能见到要求 \(i\le j\) 这样的条件，它们用来限制问题求解范围。 在只有少量限制时，这些问题的求解较为简单，但是当维度变高，条件变得复杂。 概述 偏序问题最简单的形式有： 给定 \(n\) 个 \(m\) 维坐标点 \((x_{i,1},x_{i,2 阅读全文
posted @ 2025-11-19 19:42
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[COI 2019] IZLET 题解 知识点 构造，并查集。 分析 Sub 1 将 \(1\) 的边缩点，此时所有相连的点对颜色互不相同，那么连接就很容易。 可以考虑找一个点作为 \(1\)，其余都是 \(2\)，并与它相连。 Sub 2 考虑往回找颜色相同的点，其实比较简单。假设从 \(1\) 阅读全文
posted @ 2025-11-18 15:04
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[NOIP2024] 树上查询 题解 知识点 LCA，偏序，扫描线，线段树。 分析 法 1 考虑不断从树底往上合并，那么我们就可以得到一堆连续段，在每个节点 \(u\) 处记加入 \(u\) 后哪个连续段连了起来，记为 \([l_u,r_u]\)，然后就可以做扫描线。 第一步 DSU 求出即可，后面 阅读全文
posted @ 2025-11-17 20:44
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[NOIP2024] 树的遍历 题解 知识点 树形 DP。 题意简述 给定一棵树，并给定 \(k\) 条关键边，以其中任意一条为根，对树的边进行 DFS 遍历建新树，问有多少种新树。 分析 考虑画图理解，发现对于一种新树，能成为它的根节点的只有一条从叶子到叶子的链上的边，因为每个非叶节点周围的新边会 阅读全文
posted @ 2025-11-17 20:43
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[NOIP2024] 遗失的赋值 题解 知识点 组合数学。 分析 首先判断一下数据合法性，然后 \(d\) 就没有了用处。 将 \(c\) 排序，发现可以容斥一下，统计方案只需考虑相邻两个数之间的关系和首尾的特殊处理。 那么相邻两个数之间的关系可以考虑容斥，把 \(v^{2(c_{i+1}-c_i) 阅读全文
posted @ 2025-11-17 20:42
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[NOIP2024] 编辑字符串 题解 知识点 贪心。 题意简述 给定两个 01 序列，规定每个序列某些位置可以进行左右互换操作。 要求求出操作后两序列一一对应相同的值最多有多少。 题目分析 其实可以很简单地想到一个贪心：将能对上的就对上。 然后发现这是对的，因为能互换的位置是固定的，这就导致先把最 阅读全文
posted @ 2025-11-17 20:42
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[CSP-S 2025] 员工招聘（employ）题解 知识点 组合数学，容斥，计数 DP。 分析 组合计数 首先对于状态的定义，我们能够想到与大小比较有关，因为这里的大小比较一直在变化，如果能够将它装入状态，将会极大地便利我们的决策。 设状态为 \(f_{i,j,k}\)，比较常规的两维 \(i, 阅读全文
posted @ 2025-11-13 14:57
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[CSP-S 2025] 谐音替换（replace）题解 知识点 Trie，ACAM，Hash。 分析 首先排除一些 corner case： \(s_1 = s_2\)：需要直接扔掉，虽然对于一些算法没有影响，但是保险起见。 \(|t_1| \neq |t_2|\)：输出 \(0\) 即可。 现在 阅读全文
posted @ 2025-11-13 14:56
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[CSP-S 2025] 社团招新（club）题解 知识点 贪心。 分析 首先考虑没有 \(\le \frac{n}2\) 的限制，直接选最大的，那么会生成一种方案。 然后再加入限制，直接把最多的那个会减少的值都求出来排个序即可。 反思 第一题大概 \(45\) min 结束，打暴力稍微有点犹豫。 阅读全文
posted @ 2025-11-13 14:55
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[CSP-S 2025] 道路修复（road）题解 知识点 状压，最小生成树（MST），归并。 分析 首先考虑缩小 \(m\)，这个 trick 非常经典，在 P3639 [APIO2013] 道路费用 - 洛谷 (luogu.com.cn) 中就有，利用 Kruscal 贪心性质把不可能存在的边删 阅读全文
posted @ 2025-11-13 14:55
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[集训队互测 2015] 上帝之手 题解 知识点 线段树，分块。 分析 约定 定义更换：\(l_i\to lim_i,d_i\to del_i\)。 定义查询 \(F(l,r,x)\)（如果 \(x\) 空缺，默认为 \(lim_{l-1}\)）表示 \(x\) 一直做 \(\to \min\{ x 阅读全文
posted @ 2025-11-12 22:17
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P9001 [CEOI 2022] Parking 题解 前言 笔者认为自己的分析较有利于代码实现，而且理解也来的容易。 知识点 构造，模拟，图论，环，链。 分析 暴力 首先对于 \(M\le 4\) 的部分有暴力 BFS，可以 \(O(m^2(2m)!)\) 过。 性质 然后我们考虑找性质，对于一 阅读全文
posted @ 2025-09-13 19:52
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P12503 「ROI 2025 Day1」索契游乐园 题解 知识点 二分，三分，贪心，数学。 分析 首先可以知道我们可以把折返的贡献分为两边独立的贡献，只要一边移动的贡献设为 \(t\)，另一边设为 \(2t\) 即可。 那么将坐标 \(<x_0\) 和 \(>x_0\) 的分开到两个数组中，重新 阅读全文
posted @ 2025-09-07 10:54
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QOJ 2273 Suffixes may Contain Prefixes 题解 知识点 KMP，exKMP，DP，FSM（DFA，NFA）。 分析 首先建出 \(S\) 的 KMP 自动机，然后考虑在自动机上 DP。 那么设状态为 \(f_{i,u}\) 表示到了 \(i\)，在自动机上状态为 阅读全文
posted @ 2025-09-05 14:45
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P9262 [PA 2022] Łamigłówka 题解 知识点 贪心，模拟。 分析 首先知道暴力可以直接 \(O(nmK)\) 的解决。 简化操作序列 发现对于操作序列中，连在一起的 LL 等相同的字符可以缩掉，然后再进一步发现，如果同是水平方向的操作（L、P）挨在一起，那么只需要留最后一个即可 阅读全文
posted @ 2025-09-05 13:56
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Gym 103860B Shuttle Bus 题解 知识点 可删堆，对顶堆，换根 DP，长链剖分。 分析 首先我们有 \(O(n^2)\) 的暴力做法：我们以每个点为根，暴力对树进行长链剖分。 具体地，设 \(siz_u = \sum_{v\in S(u)} a_v\)，其中 \(S(u)\) 表 阅读全文
posted @ 2025-09-04 22:00
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P9873 [EC Final 2021] Beautiful String 题解 知识点 字符串，LCP，Hash，KMP。 分析 首先我们知道 \(A,B,C,D,E,F\) 六个非空子串中，\(A=B=E,C=F\)，那么 \(BC=EF\)，我们设 \(G=BC=EF\)，那么原串可以表示为 阅读全文
posted @ 2025-09-04 21:29
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EOlymp 1976 Programming is an art! 题解 知识点 区间 DP。 分析 设 \(f_{l,r}\) 表示区间 \([l,r)\) 中最多颜色种类数，且这些颜色的区间被包含在 \([l,r)\) 中，即要求颜色 \(i\) 满足 \([L_i,R_i)\subseteq 阅读全文
posted @ 2025-09-04 20:50
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QOJ 3804 Distributing the Treasure 题解 知识点 构造，二分图，DAG，最长路。 分析 首先有个很明显的特判：\(n\ge m\) 时，输出 \(1\sim m\) 即可。那么排除了上述情况后，发现 \(n\le m\le \sqrt{2\times 10^5}<4 阅读全文
posted @ 2025-09-03 22:09
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CF720E Cipher 题解 知识点 进制，模拟，贪心。 分析 发现我们想要确定一位数时，只有两种方法： 该位数字自己加 \(1\)，从变化顺序可以看出它是哪一位。 该位数字加 \(1\)，导致高位数字出现变化，看出它现在变成了 \(0\)。这种情况包括整个数字达到了 \(n+1\) 位的情况。 阅读全文
posted @ 2025-09-03 19:33
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AT_s8pc_4_e Enormous Atcoder Railroad 题解 知识点 DP。 分析 \(f_{i,j,k}\) 表示长度为 \(i\) 的区间，左边到原点距离为 \(j\)，右边到原点距离为 \(k\) 时方案数为多少。发现只需要求满足 \(j=k\lor j+1=k\) 的状态 阅读全文
posted @ 2025-09-02 21:29
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P11119 [ROI 2024] 保持连接 (Day 2) 知识点 DP，前缀和。 分析 设 \(L_i,R_i\) 表示能够覆盖到点 \(i\) 的区间的左端点最小值、右端点最大值。考虑不带修改的情况。 那么设 \(g_i\) 表示以 \(i\) 作为起点，以 \([i,n]\) 内端点作为终点 阅读全文
posted @ 2025-09-01 16:01
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P11113 [ROI 2024] 2026 (Day 1) 题解 知识点 贪心，模拟。 分析 首先知道暴力可以直接 \(O(\sum nmQ)\) 的解决。 简化操作序列 发现对于操作序列中，连在一起的 LL 等相同的字符可以缩掉，然后再进一步发现，如果同是水平方向的操作（L、R）挨在一起，那么只 阅读全文
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后缀数组 学习笔记 定义 包含 \(sa\) 和 \(rk\) 两个数组，其含义如下： \(sa_i\) 表示：将所有后缀按字典序排序后，在第 \(i\) 位的后缀的第一位下标。 \(rk_i\) 表示：将所有后缀按字典序排序后，第一位下标为 \(i\) 的后缀的排名。 其中 \(sa\) 是我们所 阅读全文
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广义后缀自动机 学习笔记 概述 广义后缀自动机（General Suffix Automaton）是将后缀自动机整合到字典树中来解决对于多个字符串的子串问题。 定义 字符串集合 \(\set{s}\) 的广义后缀自动机（GSAM）是一个接受 \(\set{s}\) 的所有字符串的所有后缀的最小 DF 阅读全文
posted @ 2025-08-21 14:16
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后缀自动机 学习笔记 概述 后缀自动机（suffix automaton, SAM）是一个能解决许多字符串相关问题的有力的数据结构。 直观上，字符串的 SAM 可以理解为给定字符串的 所有子串 的压缩形式。 定义 字符串 \(s\) 的后缀自动机（SAM）是一个接受 \(s\) 的所有后缀的最小 D 阅读全文
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[CCO 2024] Telephone Plans 题解 知识点 启发式合并，启发式分裂，BFS，LCT。 分析 首先有“所有边连接起来会得到森林”和“所有边只会出现一段连续的时间”两个重要条件。 然后对于连边和删边就有如下算法： 连边：启发式合并，将较小的连通块接到较大的上面。 删边：启发式分裂 阅读全文
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HDU - 6056 simple counting problem 题解 ——【UNR #2】梦中的题面 原版 & 加强版题目 知识点 组合数学，容斥，斯特林数，计数 DP。 分析 首先第一步容斥，考虑钦定某些一定 \(i\) 超过 \(b_i-c\) 的限制，即至少选 \(b_i-c+1\) 个 阅读全文
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POJ 2759 Distributing tasks/Lyk Love painting 题解 知识点 二分，DP，尺取。 分析 约定 \(a_i,b_i,c_i\) 分别表示第一排树种树难度、第二排树种树难度以及一二排树种树难度的和，而 \(A_i,B_i,C_i\) 分别是它们的前缀和。 首先 阅读全文
posted @ 2025-08-06 20:14
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P9864 [POI 2021/2022 R2] age 题解 知识点 树形最值 DP，分类讨论。 分析 简化题意 给定 \(k\) 个关键点，将树划分为 \(k\) 个连通块，每个块包含一个关键点。 设特殊点 \(i\) 在其联通块内为端点的最长链长度为 \(len_i\)，则一种划分方案的代价为 阅读全文
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容斥计数 笔记&例题 内容 主要就是容斥原理和二项式反演。 容斥原理 设 \(A_1,A_2,...,A_n\) 是集合 \(S\) 的子集，表示以集合 \(S\) 代表可能发生的事件的 \(n\) 个子事件， \(|A_i|\) 表示子事件 \(A_i\) 发生的次数 \((0 < i \le n 阅读全文
posted @ 2025-06-13 20:41
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