P11119 [ROI 2024] 保持连接 (Day 2)

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知识点

DP，前缀和。

分析

设 \(L_i,R_i\) 表示能够覆盖到点 \(i\) 的区间的左端点最小值、右端点最大值。考虑不带修改的情况。

那么设 \(g_i\) 表示以 \(i\) 作为起点，以 \([i,n]\) 内端点作为终点的贡献和，那么就有 \(g_i = (n-R_i)+g_{R_i+1}\)。我们统计原答案 \(sum=\sum g_i\)。

现在再来考虑 \(X\) 的影响，那么如果 \(X>a_i\)，则有：设 \(p\) 为原本覆盖 \(i+X\) 的线段中左端点最小值减一（如果 \(i+X>n\) 就设为 \(n\)），如果满足 \(\max(1,i-X)\le p\)，所有在往后跳的时候经过区间 \([\max(1,i-X),p]\) 的点就会受到影响，它们会直接跳到 \(i+X+1\)。

考虑求出经过某个点 \(i\) 的点数 \(f_i\)，转移较为简单：\(f_i = \sum_{R_j + 1 = i} f_j + 1\)。

那么设经过该区间的点数为 \(c\)，原本它们在该区间产生的贡献为 \(s\)，\(r=\min(n,i+X)\)，那么明显答案为 \(sum-s+c(n-r+g_{r+1})\)。

那么考虑如何维护 \(s,c\)，由于 \(i-X\) 是递增的，我们直接双指针加入 \(<i-X\) 的部分即可，用树状数组即可 \(O(n\log_2{n})\) 解决。

考虑优化，发现树状数组修改的点也是递增的，那么我们先对于修改和未修改都求出贡献前缀和数组，然后在加入 \(X\) 的时候借助 \(L\) 求一下修改的边界 \(q\)，分别把两部分放到答案里即可，复杂度 \(O(n)\)。

代码

constexpr int N(1e6+10);
int n,X;
int a[N],L[N],R[N];
ll ans(LINF),sum(0);
ll f[N],g[N],h0[N],h1[N];

signed main() {
#ifdef Plus_Cat
	freopen(Plus_Cat ".in","r",stdin),freopen(Plus_Cat ".out","w",stdout);
#endif
	I(n,X);
	FOR(i,1,n)L[i]=R[i]=i;
	FOR(i,1,n) {
		I(a[i]);
		int l(max(1,i-a[i])),r(min(n,i+a[i]));
		tomin(L[r],l),tomax(R[l],r);
	}
	DOR(i,n,2)tomin(L[i-1],L[i]);
	FOR(i,2,n)tomax(R[i],R[i-1]);
	DOR(i,n-1,1)g[i]=(n-R[i])+g[R[i]+1],sum+=g[i];
	ans=sum;
	FOR(i,1,n)f[R[i]+1]+=(++f[i]),h0[i]=h0[i-1]+f[i]*g[i],h1[i]=h1[i-1]+f[i]*(g[i]-g[R[i]+1]),f[i]+=f[i-1];
	FOR(i,1,n)if(X>a[i]) {
		int l(max(1,i-X)),r(min(n,i+X)),p(i+X<=n?L[i+X]-1:n),q(max(l,L[p]));
		if(p<l)continue;
		tomin(ans,sum-(h0[p]-h0[q-1])+(f[p]-f[q-1])*(n-r+g[r+1])-(h1[q-1]-h1[l-1]));
	}
	O(ans,'\n');
	return 0;
}

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