偏序问题专题

偏序问题专题

前言

在 OI 中，我们常常能见到要求 \(i\le j\) 这样的条件，它们用来限制问题求解范围。

在只有少量限制时，这些问题的求解较为简单，但是当维度变高，条件变得复杂。

概述

偏序问题最简单的形式有：

给定 \(n\) 个 \(m\) 维坐标点 \((x_{i,1},x_{i,2},\ldots,x_{i,m})\)，以及 \(Q\) 个 \(m\) 维坐标点 \((y_{j,1},y_{j,2},\ldots,y_{j,m})\) 作为询问，要求对于每个询问求出满足 \(\forall 1\le k\le m,x_{i,k}\le y_{j,k}\) 的给定 \(m\) 维坐标点个数。

其中 \(\le\) 满足偏序关系，因此得名“偏序问题”。

拓展

在此基础上，该问题还可以延伸。

  1. 条件：

    只有 \(\le\) 实在太单一，还可以使用 \(<,>\) 等拟序关系。

    或者用更复杂的关系，比如在树上的位置关系，在图上的位置关系，在数据结构上的位置关系等。

  2. 内容：

    我们可能不是统计满足条件的点的个数，还有可能是位置、最值等。

方法

当我们看到偏序问题，就可以想到枚举每一维来解决这个问题，这样的复杂度可以达到 \(O(n^d)\)，非常劣，我们有没有一些方法可以优化？

  • 一维偏序问题，我们可以通过排序后遍历等算法来 \(O(n\log{n})/O(n)\) 解决，如果有特殊性质，例如范围较小，可以考虑前缀和、离线来 \(O(n)\) 解决。

  • 二维偏序问题，对于其中一维用上面的方法解决，即排序或者离线，可以在 \(O(n\log{n})/O(n)\) 复杂度解决。

    此时第二维可以使用数据结构解决，常见的复杂度有 \(O(\log^c(n))/O(n^c)/O(\frac{n}w)\) 等；或者我们可以分治来解决，这种分治就是大家熟知的 CDQ 分治。

    一般复杂度在 \(O(n\log{n})\)。

  • 三维偏序问题，我们考虑将其中的两维用 CDQ 分治解决，另一维数据结构维护；或者一维排序，两维数据结构来维护；甚至可以直接上 CDQ 套 CDQ。

    一般复杂度在 \(O(n\log^2{n})\)。

  • 四维偏序问题，也是同理，CDQ 套 CDQ 即可解决，不过还有一些复杂度更优的做法。

    一般复杂度在 \(O(n\log^3{n})\)，\(O(n\sqrt{n})\)。

  • 高维偏序问题，当维数大于 \(4\)，上述算法的常数都会变得巨大，那么此时使用 bitset 其实是最优的选择。

    一般复杂度在 \(O(\frac{n^2d}w)\)（\(d\) 是维数）。

  • 超高维偏序问题（一般出现在二进制枚举、状态压缩中）：例如高维前缀和，这类问题的范围通常不会很大，那么就会有一些特殊的算法，比如 SOS 算法。

技巧

偏序问题中有一些比较常见的技巧，可以简化问题或者让复杂度更优。

  • 离散化：这是非常基础的手段。
  • 差分容斥：考虑把区间问题变成一般的前后缀偏序问题，当然不行的时候我们可以考虑线段树分治一类区间贡献算法。
  • 去重、合并：避免分类讨论或特殊情况带来的问题，我们可以把具有相同特征的值合并到一起。
  • 离线处理：对于不强制在线的题目可以考虑离线下来做 CDQ 分治一类算法，否则只能考虑树套树之类的在线算法。
  • 降维：一些高维的问题在性质加持下，可以降维，例如三维偏序问题只需求一个满足条件的点时，其实可以降到两维。

应用

偏序问题有许多应用，包括普通数据结构题目，DP 优化，与其他数据结构结合，优化卷积等。

二维偏序

实现方法

  • 扫描线：通常二维偏序的解法是一维排序，另一维数据结构维护，这个算法被形象地称为“扫描线”。
  • 分治：分治其实也是一种解决二维偏序的常用方法，它通常需要结合双指针来解决。由于数据提前排好了序，分治左区间的第一维与分治右区间的第一维肯定满足偏序关系，那么我们只需要求解第二维即可。

例题

三维偏序

实现方法

  • CDQ 分治（包括 CDQ 分治套 CDQ 分治）：最最常见的三维偏序做法，常数较小，也不复杂，可以与归并结合，还有一些可以使用的技巧。
  • 树套树：一般的在线三维偏序方法，通常使用树状数组套值域线段树为多。
  • K-D Tree、分块、莫队：根号做法。
  • 分组 bitset：适合高维偏序，常数小，大概只有 \(O(\frac{n^2d}w)\)（\(d\) 是维数）。
  • 二进制分组套 Wavelet Matrix：单 \(\log\) 做法……

例题

四维偏序

实现方法

例题

高维偏序

实现方法

bitset 求解高维偏序 - -Wallace- - 博客园 (cnblogs.com)。

到了 \(5\) 维甚至更高的偏序问题，bitset 无疑是首选，而且还可以优化空间。

例题

超高维偏序

实现方法

这类题目通常是用于状压、二进制枚举。解决方法有高维前缀和、SOS DP 等。

例题

细节

  • 偏序问题的排序较容易出错，注意各维度的定义、询问与修改的前后顺序。
  • 分治时，有的地方复杂度容易算错，要仔细分析。
posted @ 2025-11-19 19:42  Add_Catalyst  阅读(17)  评论(0)    收藏  举报