插入 DP 总结

插入 DP 总结

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引

插入 DP 是一类非常巧妙的 DP，常用于计数、求概率、期望，也可用于求最值。具体地，它会用来求排列、划分相关信息等，这些排列、划分都有一定特征。

通常使用维护多个连续段信息的方法来解决。

状态

由于维护信息中通常有连续段个数这一维，且转移复杂不宜使用数据结构优化，导致其大小一般不会很大，在 \(O(n^3)\) 内解决居多。

所以通常记录的就是已插入的数个数，连续段个数，可能还有记录其余特殊性质的维。

做插入 DP 时尤其需要注意一些特殊条件，例如首段与尾端可能需要特殊处理，这些通常通过计入 DP 状态常数维来解决。

转移

插入 DP 转移式以复杂的分类讨论著称，如何有条理地列出插入 DP 转移方程？其实很简单。

插入 DP 的转移式一般分为三种：

1. insert：插入新连续段。
2. extend：扩展已有连续段。
3. merge：合并已有连续段。

分类之后，只要将转移式清晰列出即可解决问题。

注意 2/3 两种情况需要判断连续段的数量，否则可能会出现问题。

例题

普通二维状态

AT_dp_t Permutation

这题严格来说不能算插入 DP，它没有插入最核心的特征——维护多个连续段。

较为基础，需要用前缀和优化，做到 \(O(n^2)\)。

AT_abc209_f [ABC209F] Deforestation

也是板子题。

CF1515E Phoenix and Computers

也是比较简单的模板题。插入 DP 做到 \(O(n^2)\)。

CF704B Ant Man

这题是少有的插入 DP 求最值贡献的题目，很不错的思维题，虽然有更优的贪心做法，但还是值得一写。

这里的连续段维护的是一段路径的连续段，注意与 \(S,T\) 有关的需要额外讨论。

[CEOI 2016] kangaroo

注意这题并没有拓展的情况，不能拘泥于转移范式中。

「GDOI2020模拟赛day1」Permutation

树上插入 DP 搭配组合数学、容斥，非常难的一题。

没时间了，自己看题解吧：【GDOI2020模拟4.4】Permutation （计数+树形.笛卡尔树dp+容斥）： - Cold_Chair - 博客园 (cnblogs.com)（拜谢大佬）。

普通三维状态

UTS Open '21 P7 - April Fools - DMOJ utso21p7 - Virtual Judge (vjudge.net)

这道题在状态设计上相对于上面的略有拓展，但也并不难。

但是难的是它的转移式，很好的展现了插入 DP 分类讨论复杂的特点。

UTS Open '21 P7 - April Fools 题解 - Add_Catalyst - 博客园 (cnblogs.com)。

二维状态+贡献总和维

这类题目状态中带一个 \(m/k\)，复杂度一般在 \(O(n^2m)\) 等，所以可能 \(m\) 会是 \(n\) 的数倍，这是一个特征。

CF626F Group Projects

插入 DP 模板题，三维的状态，多一维时间总和，复杂度 \(O(n^2k)\)。

[COCI 2021/2022 #2] Magneti

这题需要稍微和组合数学结合一下，但是本质其实相同，也是加一维记总距离，复杂度 \(O(n^2l)\)。

[JOI Open 2016] 摩天大楼 / Skyscraper

这题有一个比较套路的 trick——水淹笛卡尔树：将值排序之后再逐个插入，就可以做到避免用拆贡献，因为拆贡献导致的值域时增时减会使 DP 状态开不下。

以及这题还记了一维或者两维的常数维来表示两边的是否结束，这很重要，很容易被忽略！！！

P2612 [ZJOI2012] 波浪

首先注意到 \(M\) 的范围是个诈骗，其实最多只有 \(O(n^2)\) 级别。

然后把概率变成求方案数，那么就和上一题无异，但是它还卡精度，剩下的就看题解吧……

这题与上一题不同的是，值域较小，不用那个 trick 也没有多大差别。

总结

插入 DP 的题目不多，一旦遇到，一定非常麻烦，也比较套路，耐心求解一定会有结果（但是可能没有时间）。