Gym 103860B Shuttle Bus 题解

Gym 103860B Shuttle Bus 题解

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知识点

可删堆，对顶堆，换根 DP，长链剖分。

分析

首先我们有 \(O(n^2)\) 的暴力做法：我们以每个点为根，暴力对树进行长链剖分。

具体地，设 \(siz_u = \sum_{v\in S(u)} a_v\)，其中 \(S(u)\) 表示以 \(u\) 为根的子树内的节点，那么我们将树剖为数条以 \(\sum siz\) 为权值的链，采取长链剖分的方式，用 DP 可以求出，并将这些权值记在相应的叶节点上。

那么从总权值和中减去最长的 \(k\) 条链即可得到答案；或者求出叶节点数 \(cnt\)，取出其中最小的 \(cnt-k\) 条链求和就是答案。

考虑优化，首先发现可以使用类似换根的方式解决问题，每次从一个节点到子节点时（称为下传），只会改变最多两个叶节点的权值，那么可以开一个可删对顶堆来维护前 \(cnt-k\) 小，单次修改复杂度 \(O(\log_2{n})\)。

在从 \(u\) 下传到 \(v\) 时，我们还要考虑维护最长链，那么就要判断 \(u,v\) 所属最长链是否相同，并求出 \(u\) 除去 \(S(v)\) 后的最长链，那么只需对所有与 \(u\) 相连的点都遍历一遍，求最长链和次长链即可，与换根 DP 无异。

代码

代码细节较多。

#define Pli pair<ll,int>
#define PQ(x,y) priority_queue<x,vector<x>,y>
constexpr int N(2e5+10);

bool vis[N],typ[N];
int n,m,rt,cnt;
int a[N],fa[N],bot[N],dep[N],idx[N];
ll sum;
ll ans[N],len[N],siz[N],val[N];
vector<int> g[N];
template<class Type,class cmp=less<Type>>struct DPQ {
	ll sum;
	PQ(Type,cmp) S,T;
	DPQ():sum(0),S(PQ(Type,cmp)()),T(PQ(Type,cmp)()) {}

	void update() { while(!S.empty()&&!T.empty()&&S.top()==T.top())S.pop(),T.pop(); }

	bool empty() { return S.size()<=T.size(); }

	int size() { return S.size()-T.size(); }

	void insert(Type x) { update(),sum+=x.Fi,S.push(x); }

	void erase(Type x) { T.push(x),sum-=x.Fi,update(); }

	Type top() { return update(),S.empty()?Type(-1,-1):S.top(); }
};
DPQ<Pli> LQ;
DPQ<Pli,greater<Pli>> GQ;

void Insert(int u) {
	const Pli x(val[u],u);
	if(LQ.size()<m)return typ[u]=0,LQ.insert(x);
	if(x<LQ.top())return typ[LQ.top().Se]=1,typ[u]=0,GQ.insert(LQ.top()),LQ.erase(LQ.top()),LQ.insert(x);
	typ[u]=1,GQ.insert(x);
}

void Erase(int u) {
	const Pli x(val[u],u);
	!typ[u]?LQ.erase(x):GQ.erase(x);
	while(!GQ.empty()&&LQ.size()<m)typ[GQ.top().Se]=0,LQ.insert(GQ.top()),GQ.erase(GQ.top());
}

void dfs(int u) {
	dep[u]=dep[fa[u]]+1,len[u]=siz[u]=a[u],bot[u]=u;
	for(int v:g[u])if(v^fa[u])fa[v]=u,dfs(v),siz[u]+=siz[v];
	for(int v:g[u])if(v!=fa[u]&&len[v]+siz[u]>=len[u])len[u]=len[v]+siz[u],bot[u]=bot[v];
}

void DFS(int u) {
	/*DE("Cal");*/
	g[u].size()==1u?(Erase(u),ans[u]=LQ.sum-(LQ.size()>=m?LQ.top().Fi:0),Insert(u),0):ans[u]=LQ.sum;
	if(g[u].size()==1u)return;
	/*DE("Find Bots");*/
	const int botu(bot[u]);
	int _botu(0);
	ll Val(0),_Val(0);
	bot[u]=_botu=u,val[u]=0;
	for(int v:g[u]) {
		if(val[bot[v]]>=Val)_Val=Val,_botu=bot[u],Val=val[bot[v]],bot[u]=bot[v];
		else if(val[bot[v]]>=_Val)_Val=val[bot[v]],_botu=bot[v];
	}
	/*DE("To Sons");*/
	for(int v:g[u])if(v^fa[u]) {
		/*DE("Update");*/
		int bot_u(bot[v]==bot[u]?_botu:bot[u]);
		const ll sizv(siz[v]);
		Erase(bot[v]),val[bot[v]]-=siz[v],Insert(bot[v]);
		Erase(bot_u),val[bot_u]+=sum-siz[v],Insert(bot_u);
		siz[u]-=siz[v],siz[v]=sum,swap(bot[u],bot_u);
		/*DE("DFS");*/
		DFS(v);
		/*DE("Backtracking");*/
		swap(bot[u],bot_u),siz[v]=sizv,siz[u]+=siz[v];
		Erase(bot_u),val[bot_u]-=sum-siz[v],Insert(bot_u);
		Erase(bot[v]),val[bot[v]]+=siz[v],Insert(bot[v]);
	}
	bot[u]=botu;
}

signed main() {
#ifdef Plus_Cat
	freopen(Plus_Cat ".in","r",stdin),freopen(Plus_Cat ".out","w",stdout);
#endif
	/*DE("Input & Build");*/
	cin>>n>>m;
	if(n<=2) {
		FOR(i,1,n)cout<<"0\n";
		return 0;
	}
	FOR(i,1,n)cin>>a[i],sum+=a[i];
	FOR(i,2,n) {
		int u,v;
		cin>>u>>v,g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);
	}
	/*DE("Init");*/
	FOR(i,1,n)g[i].size()>1u?rt=i:++cnt;
	if(cnt<=m) {
		FOR(i,1,n)cout<<"0\n";
		return 0;
	}
	m=cnt-m,dfs(rt);
	FOR(i,1,n)idx[i]=i;
	sort(idx+1,idx+n+1,[&](const int a,const int b) {
		return len[a]^len[b]?len[a]>len[b]:dep[a]<dep[b];
	});
	FOR(i,1,n) {
		const int &u(idx[i]);
		if(vis[u]||u==rt)continue;
		val[bot[u]]=len[u];
		for(int v(bot[u]); v!=rt&&!vis[v]; v=fa[v])vis[v]=true;
	}
	FOR(i,1,n)if(g[i].size()==1u)Insert(i);
	/*DE("DFS");*/
	DFS(rt);
	/*DE("Output");*/
	FOR(i,1,n)cout<<ans[i]<<'\n';
	return 0;
}

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