[CSP-S 2025] 道路修复（road）题解

[CSP-S 2025] 道路修复（road）题解

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知识点

状压，最小生成树（MST），归并。

分析

首先考虑缩小 \(m\)，这个 trick 非常经典，在 P3639 [APIO2013] 道路费用 - 洛谷 (luogu.com.cn) 中就有，利用 Kruscal 贪心性质把不可能存在的边删去。

接下来直接考虑暴力一点，\(O(2^k)\) 先枚举所有点是否会被选，那么如果要做 Kruscal，我们可以对所有边排序，那么这个算法是 \(O(2^knk\log{(nk)})\) 的，非常慢。

那么我们考虑不用排序，其实就是在枚举之前就排完全部的边，那么时间复杂度来到了 \(O(2^kn(k+\alpha(n)))\)（好的这个解法比正解要快）。

再考虑优化，我们可以用状压的常用手段来处理，想要处理出选择 \(S\) 的 MST，我们可以考虑先求出 \(S\oplus \mathrm{lowbit}(S)\) 的 MST，再与 \(\mathrm{lowbit}(S)\) 的所有边归并一下，那么复杂度是 \(O(2^k(n+k)\alpha(n))\) 的。

那么 \(\alpha(n)\) 一般都固定到 \(4\)，复杂度可以通过。

反思

1. 还好有写快读。
2. 想到了去除 \(\mathrm{lowbit}\) 的算法，但是没有想到归并 MST，这非常不对，导致我做后面两题的时候一直在想这个如何优化。
3. 大概 \(45\) min 结束，但是由于需要卡过去导致后面都爆炸。