摘要：
如果$ax^2+2bx+c$有一个二重根，也即它有$a(x-\alpha)^2$的形式，那么$2ax+2b$必定可以被$x-\alpha$整除，所以有$\alpha=\frac{-b}{a}$.而且有$a\alpha^2+2b\alpha+c=0$,因此$b^2=ac$.应用(纯数学教程 Page ... 阅读全文
posted @ 2012-11-10 21:10
叶卢庆
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求$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$所有的根以及重根的阶.解答:这道题的解决有赖于如下的结论:1.不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的重因式的充分必要条件是$p(x)$是$f(x)$和$f'(x)$的公因式.该结论的证明是简单的.因此如果$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$... 阅读全文
posted @ 2012-11-10 20:20
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求$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$所有的根以及重根的阶.解答:这道题的解决有赖于如下的结论:1.不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的重因式的充分必要条件是$p(x)$是$f(x)$和$f'(x)$的公因式.该结论的证明是简单的.因此如果$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$... 阅读全文
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证明:分解的存在性是容易证明的.我只用证明分解的唯一性.采用数学归纳法.当$f(x)$可以分解成$a_0q_1(x)$这种形式时,其中$q_1(x)$不可约,那么容易证明此时分解是唯一的.假设当$f(x)$可以分解成$a_0q_1(x)q_2(x)\cdots q_n(x)$时,其中$\forall... 阅读全文
posted @ 2012-11-10 15:35
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证明:分解的存在性是容易证明的.我只用证明分解的唯一性.采用数学归纳法.当$f(x)$可以分解成$a_0q_1(x)$这种形式时,其中$q_1(x)$不可约,那么容易证明此时分解是唯一的.假设当$f(x)$可以分解成$a_0q_1(x)q_2(x)\cdots q_n(x)$时,其中$\forall... 阅读全文
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如果$f_1(x)|g(x)$,$f_2(x)|g(x)$,且$(f_1(x),f_2(x))=1$,则$f_1(x)f_2(x)|g(x)$.证明:不妨设$g(x)=f_1(x)k_1(x)$.则$f_2(x)|f_1(x)k_1(x)$.由于$f_1(x)$与$f_{2}(x)$互素，因此$f_... 阅读全文
posted @ 2012-11-10 12:04
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如果$f_1(x)|g(x)$,$f_2(x)|g(x)$,且$(f_1(x),f_2(x))=1$,则$f_1(x)f_2(x)|g(x)$.证明:不妨设$g(x)=f_1(x)k_1(x)$.则$f_2(x)|f_1(x)k_1(x)$.由于$f_1(x)$与$f_{2}(x)$互素，因此$f_... 阅读全文
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试利用辗转相除法，求有理系数多项式$u(x)$和$v(x)$,使得$u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))$.(1)$f(x)=3x^3-2x^2+x+2$,$g(x)=x^2-x+1$.解:\begin{align*} 3x^3-2x^2+x+2&=3x(x^2-x+1)+(... 阅读全文
posted @ 2012-11-10 00:06
叶卢庆
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试利用辗转相除法，求有理系数多项式$u(x)$和$v(x)$,使得$u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))$.(1)$f(x)=3x^3-2x^2+x+2$,$g(x)=x^2-x+1$.解:\begin{align*} 3x^3-2x^2+x+2&=3x(x^2-x+1)+(... 阅读全文
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叶卢庆
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