QOJ#12181. abc

QOJ#12181. abc

题意

给你一个包含 \(\texttt{a,b,c}\) 的字符串。求所有区间的权值和。一个区间的权值定义为区间内出现次数的字母的个数，减去出现次数最少的字母的个数。（出现次数不为 \(0\)）

\(n \le 2 \times 10^5\)。

思路

原式很难分讨。所以要先统一一下式子。

• 对于包含 \(3\) 种不同字母的区间 \([l,r]\)：

\[val_{l,r} = \frac{|c_a-c_b| + |c_b-c_c| + |c_c-c_a|}2 \]

• 对于包含 \(2\) 种不同字母的区间 \([l,r]\)，假设它包含 \(a,b\)。

\[val_{l,r} = |c_a-c_b| \]

• 对于包含 \(1\) 种不同字母的区间 \([l,r]\)，没有贡献。

这里怎么线性维护，感觉还是有点困难的。

这样要维护什么就很显然了吧。首先贡献乘二以去掉分母。

一种比较简洁的维护方法是，枚举两个字母 \(A,B\)。

• 对于包含 \(A,B\) 的区间，计算 \(2|c_A - c_B|\)。这恰好满足包含两种不同字母的区间的贡献。
• 对于包含三种字母的区间，要减去多余的贡献。计算 \(-|c_A - c_B|\)。

我们枚举区间右端点 \(r\)。

维护以 \(r\) 为右端点的区间的贡献。怎么从 \(r-1\) 转移过来。

加入 \(a_r\) 后，绝对值为 \(0,\pm1\) 的贡献需要变化。我们用 \(cnt_x\) 存差值（非绝对值）为 \(x\) 的区间个数。

因为不能左右移 \(cnt\) 数组。所以再记一个偏移量 \(tag\) 即可。

加入 \(a_r\) 后有可能要加入新的区间。直接加即可。

时间复杂度线性。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
using namespace std;
typedef long long ll;
namespace wing_heart {
	constexpr int N=2e5+7;
	int n;
	char s[N];
	int t[N];
	int cnt[N<<1],tag;
	ll ans;
	void solve(int a,int b) {
		memset(cnt,0,sizeof(cnt)); tag=0;
		int cl=0,cr=0;
		ll sl=0,sr=0;
		int sa=0,sb=0;
		int l=0;
		rep(r,1,n) {
			if(t[r]==a) cr+=cnt[-tag+N],sr+=cr,tag++,sl-=cl,cl-=cnt[-tag+N],sa++;
			if(t[r]==b) cl+=cnt[-tag+N],sl+=cl,tag--,sr-=cr,cr-=cnt[-tag+N],sb++;
			while(sa && sb) {
				++l;
				cnt[sa-sb-tag+N]++;
				if(sa-sb>0) cr++, sr+=sa-sb;
				if(sa-sb<0) cl++, sl+=sb-sa;
				if(t[l]==a) --sa;
				if(t[l]==b) --sb;
			}
			ans+=2*(sl+sr);
		}
		memset(cnt,0,sizeof(cnt)); tag=0;
		cl=0,cr=0;
		sl=0,sr=0;
		sa=0,sb=0;
		int sc=0,c=3^a^b;
		l=0;
		rep(r,1,n) {
			if(t[r]==a) cr+=cnt[-tag+N],sr+=cr,tag++,sl-=cl,cl-=cnt[-tag+N],sa++;
			if(t[r]==b) cl+=cnt[-tag+N],sl+=cl,tag--,sr-=cr,cr-=cnt[-tag+N],sb++;
			if(t[r]==c) sc++;
			while(sa && sb && sc) {
				++l;
				cnt[sa-sb-tag+N]++;
				if(sa-sb>0) cr++, sr+=sa-sb;
				if(sa-sb<0) cl++, sl+=sb-sa;
				if(t[l]==a) --sa;
				if(t[l]==b) --sb;
				if(t[l]==c) --sc;
			}
			ans-=sl+sr;
		}
	}
	void main() {
		sf("%d",&n);
		sf("%s",s+1);
		rep(i,1,n) t[i] = s[i]-'a';
		solve(0,1), solve(1,2), solve(2,0);
		pf("%lld\n",ans/2);
	}
}
int main() {
	#ifdef LOCAL
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("my.out","w",stdout);
	#endif
	wing_heart :: main();
}