AC 自动机

AC 自动机

参考 OI-Wiki AC 自动机。

前言

2025.11.02 我之前学习 AC 自动机的时候没有深刻理解，虽然去年市赛上现场写出了 AC 自动机，算是大概理解了吧，但是仍然没有写笔记。今年 CSP 前也完全没有复习。所以现在补上！

2025.11.03 总结了一些 AC 自动机可以做的匹配类型，但是有些还没有写代码，如果有错欢迎指出！

自动机

参考 OI-Wiki 有限状态自动机。

支持的功能

AC 自动机可以对多个 \(s\) 建自动机，然后查询哪些 \(s\) 是 \(t\) 的字串。

但是建好之后似乎不支持再插入新串。

建树流程概括

  1. 建出 trie 树。

    把所有 \(s\) 插入 trie。字符串从前往后插入。

  2. 构建适配指针 \(fail\)。

    \(fail_u\) 指向 \(v\)，状态 \(v\) 是 \(u\) 的后缀，且长度最长。

struct node {
	int fail;
	// int tg;
	int son[26];
}tr[N];
int cnt;
void insert(char *s,int n) { // 在字典树中插入串串 s
	int u = 0;
	rep(i,0,n-1) {
		int c = s[i]-'a';
		if(!tr[u].son[c]) tr[u].son[c] = ++cnt;
		u = tr[u].son[c];
	}
	// 更新 tr[u]
}
void build() { // 建 fail 树
	// 若 rt 非 0，则需要把 tr[rt] 的所有空儿子，和 tr[rt].fail 设成 rt
	queue<int> que;
	rep(i,0,25) if(tr[0].son[i]) que.push(tr[0].son[i]); // tr[tr[0].son[i]].fail = rt
	while(que.size()) {
		int u = que.front();
		que.pop();
		rep(i,0,25) {
			if(tr[u].son[i]) {
				tr[tr[u].son[i]].fail = tr[tr[u].fail].son[i];
				que.push(tr[u].son[i]);
			} else tr[u].son[i] = tr[tr[u].fail].son[i];
		}
	}
}

怎么构建失配指针？

按照 bfs 的顺序求 \(fail_u\)。

现在 \(dep_x < dep_u\) 的 \(fail_x\) 都已经求好。要求 \(fail_u\)。\(fa_u\) 经过边 \(c\) 到达 \(u\)。

  • 若 \(fail_{fa_{u}}\) 经过 \(c\) 可以到达状态 \(v\)，则 \(fail_u = v\)。
  • 否则，递归查 \(fail_{fail_{fa_u}}\)。
  • 以此类推。

特判 \(fail\) 指向根节点的时候。

欸，它的时间复杂度是多少？

跳 \(fail\) 的次数是 \(O(L)\) 的，\(L\) 是所有字符串的长度之和。不过找出边的时候可能需要和字符集大小有关的复杂度。

具体怎么证明？

可以用势能分析一下吧，势能定义为在队列里的 \(u\)（因为只有这些 \(u\) 才会需要跳 \(fail\)），\(\sum dep_{fail_u}\)。

跳 \(fail\) 的时候会消耗势能。求出 \(fail_u\) 之后，\(u\) 的儿子会继承 \(u\) 的势能。假如 \(u\) 有 \(k\) 个儿子，那么节点个数就会相对 \(L\) 减少 \((k-1)dep_u\)。

所以总共消耗掉的势能是 \(O(L)\) 的。

因为每个点只有一个 \(fail\) 指针，且指向 \(dep\) 严格小于它的点，所以所有 \(fail\) 指针形成一棵 \(fail\) 树。

代码见上面。

多模式匹配

对于字典 \(\{s_i\}\)，找有多少 \(s\) 是 \(t\) 的子串。

顺序枚举 \(t\) 的每个字符，当前在状态 \(u\)，要经过字母 \(c\) 去到下一个状态。

  • 遍历 \(u\) 在 \(fail\) 树上到根的 \(fail\) 链，找到所有后缀状态，加进答案。
  • 如果原 trie 上 \(u\) 经过 \(c\) 可以到达 \(v\)，就直接走了。
  • 否则看看 \(fail_u\) 能否经过 \(c\) 到达 \(v\)。
  • 否则跳下一个适配指针。

复杂度最坏是 \(O(L^2)\) 的。

需要优化。

求哪些 \(s_i\) 在 \(t\) 中出现了

这个不用优化，直接暴力跳 fail 指针，不要跳已经跳过的节点即可。

P3808 AC 自动机（简单版），code。

求每个 \(s_i\) 在 \(t\) 中出现多少次

在 AC 自动机里面跑 \(t\) 的时候，记录每个状态遇到的次数 \(tag\)。

  1. 最后对 \(fail\) 树拓扑排序（内向树）。然后按照拓扑序记录答案。
  2. 也可以 dfs，按照 dfs 序逆序更新答案，或者递归回溯的时候更新答案。

只是不同的写法而已。

P5357 【模板】AC 自动机，code。

对每个 \(t_i\)，求所有 \(s\) 在 \(t_i\) 中出现次数之和

每个状态 \(u\) 的权值 \(w_u\) 是以 \(u\) 为终点的 \(s\) 的个数。预处理出 \(u\) 在 \(fail\) 树上到根的和 \(sw_u\)。

然后跑 \(t\) 的时候，每个状态加上它的 \(sw_u\)。

类似题目：P14363 [CSP-S 2025] 谐音替换 / replace，code。

对每个 \(t_i\)，求有多少 \(s\) 是它的字串

类似题目：P2336 [SCOI2012] 喵星球上的点名

https://www.luogu.com.cn/discuss/1190105

  1. 简单的哈希做法，复杂度根号。按照字符串长度分类，一共只有根号种不同的长度。然后分类哈希。https://www.luogu.com.cn/article/zevrys8n
  2. 单老哥做法。跑 \(t\) 的时候每个状态 \(u\) 需要记录 \(u\) 在 fail 树上到根的链中，没有被算过的点。可以使用重链剖分维护每个重链的哪个前缀以及使用过；或者建所有 \(u\) 的虚树，然后在虚树上面统计，怎么统计都行吧。

对每个 \(s_i\)，求它在几个 \(t_i\) 中出现了

类似题目：P5840 [COCI 2014/2015 #5] Divljak

跑 \(t\) 的时候建出 \(u\) 的虚树。把 \(u\) 按照 dfs 序排序，然后在虚树上面打差分标记。最后统一前缀和标记。

上面的例题，每个 \(t\) 只能对 \(k\) 个点贡献，\(\sum k = q\)。所以需要每个虚树在线 \(O(len+k)\) 更新贡献。可以在虚树上差分，在 dfs 序上用树状数组维护子树和，和单点查询。于是这个板子也可以在线做。

对每个 \(s_i\)，求它在所有 \(t_i\) 出现的次数之和

跑 \(t\) 的时候维护树上差分标记。最后统一前缀和求出答案。

AC 自动机上 DP

这个的主要难点在 DP 了。

posted @ 2025-11-03 19:53  wing_heart  阅读(5)  评论(0)    收藏  举报