摘要：
问题定义：给定一个由 \(n\) 个圆盘组成的塔，这些圆盘按照大小递减的方式套在三根桩柱中的一根上。我们的目的是要将整个塔移动到另一根桩柱上，每次只能移动一个圆盘，且较大的圆盘在移动过程中不能放置在较小的圆盘上面。记最少移动次数为 \(T_n\)。 那么我们如何找出汉诺塔问题的递推式呢？书中给出的做 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:56
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摘要：
问题定义：对于一个数列：\(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89\dots\)，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，设第 \(n\) 项为 \(F_n\)。 显然，该问题的递归关系为 \[\begin{align*} F_0 &= 1, \\ F_1 &= 1, \\ F_n &= 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:56
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摘要：
如果一个正整数 \(p\) 恰好只有两个因子，即 \(1\) 和 \(p\)，那么这个数就称为素数，而其他有非平凡因子的数都称为合数。以下四个关系等价。 \(p\) 是素数 \(\forall a\)，有 \(p \mid a\) 或 \(\gcd(p,a)=1\) \(\forall a,b\) 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:54
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我们把与整数 \(a\) 模 \(m\) 同余的整数称作同余数，这些同余数构成的集合记作 \(\bar{a}=\{x \in Z | x \equiv a \pmod m\}\)。所有模 \(m\) 的同余数集合所构成的集合称为模 \(m\) 的剩余类，记作 \(z_m = \{\overline{ 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:49
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摘要：
对于一些函数 \(f(n)\)，如果很难直接求出它的值，而容易求出其倍数和或约数和 \(g(n)\)，那么可以通过莫比乌斯反演简化运算，求得 \(f(n)\) 的值。 莫比乌斯函数由如下等式定义 \[\mu(m) = \left\{\begin{matrix}\begin{align*} 1, \q 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:48
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我们考虑阶乘 \(n!\) 的素因数分解 \(n! = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\)，由于阶乘 \(n!\) 的因数位于 \([1,n]\) 区间内，因此阶乘 \(n!\) 的各个素因数 \(p_i \in [1,n]\)。我们用 \(\varepsi 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:47
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摘要：
欧拉函数，即 \(\varphi(m)\)，表示的是小于等于 \(m\) 并与 \(m\) 互素的数的个数。欧拉将费马小定理推广到非素数的模，称为欧拉定理，如下所示 \[n^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m, \ \gcd(n,m)=1 \and n,m \in Z. \] 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:46
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如果 \(m>0\) 且比值 \(n/m\) 是一个整数，我们就说 \(m\) 整除 \(n\)（或者 n 被 m 整除），记作 \[m \mid n \Leftrightarrow m > 0, \exist k \in Z, n=mk. \]两个整数 \(m\) 和 \(n\) 的最大公因子是能 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:42
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摘要：
当两个整数 \(a\) 与 \(b\) 关于整数 \(m\) 的取余运算结果相同，我们称为 \(a\) 关于模 \(m\) 与 \(b\) 同余，记作 \[a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow a \bmod m = b \bmod m. \]定理 1：\(a \eq 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:37
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摘要：
通常在含有取整的和式中，求封闭形式解的行之有效的技巧是通过引入一个新的变量来规避底或顶。 例 1：求 \(\sum_{0 \leq k \leq n} \lfloor \sqrt{k} \rfloor\)。 令 \(m=\lfloor \sqrt{k} \rfloor\)，则 \[\begin{al 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:32
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