摘要：
基于一些和式计算的特殊方法，在将递归式转换为和式后，可以简化递归式的求解。 使用和式求解汉诺塔问题 考虑汉诺塔问题的递归关系： \[\begin{align*} T_0 &= 0; \\ T_n &= 2T_{n-1} + 1, n > 0. \end{align*} \]等式两边同时除以 \(2^ 阅读全文
posted @ 2025-02-24 15:02
木杉的园子
阅读(89)
评论(0)
推荐(0)
摘要：
无限微积分由 \(\mathrm{D}f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) 所定义的微分算子 \(\mathrm{D}\) 的性质，有限微分则是由 \(\Delta f(x) = f(x+h) - f(x)\) 所定义的差分算子 \(\Delta 阅读全文
posted @ 2025-02-24 15:00
木杉的园子
阅读(109)
评论(0)
推荐(0)
摘要：
成功处理和式的关键在于，将一个 \(\sum\) 改变成另一个更简单或者更接近某个目标的 \(\sum\)。通过学习一些基本的变换法则并在实践中练习使用它们，就会容易做到这点。 基本变换法则 设 \(K\) 是任意一个有限整数集合， \(K\) 中元素的和式可以使用分配律、结合律、交换律进行变换： 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:59
木杉的园子
阅读(102)
评论(0)
推荐(0)
摘要：
问题定义：平面上 \(n\) 条直线所界定的区域的最大个数 \(L_n\) 是多少？ 基于对前几个 \(n\) 情况的分析，我们可以总结以下规律：第 \(n\) \((n>0)\) 条直线使得区域的个数增加 \(k\) 个，当且仅当它对 \(k\) 个已有区域进行了分裂；而它对 \(k\) 个已有区 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:58
木杉的园子
阅读(70)
评论(0)
推荐(0)
摘要：
问题定义：从围成标有记号 \(1\) 到 \(n\) 的圆圈的 \(n\) 个人开始，每隔一个删去一个人，直到只有一个人幸存下来，记最后幸存者的编号为 \(J_n\)。 我们假设一开始有 \(2n\) 个人，第一轮后剩下的人编号为 \(1,3,5,\dots,2n-1\)，而这恰好是游戏从 \(n\ 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:57
木杉的园子
阅读(383)
评论(0)
推荐(0)
摘要：
问题定义：给定一个由 \(n\) 个圆盘组成的塔，这些圆盘按照大小递减的方式套在三根桩柱中的一根上。我们的目的是要将整个塔移动到另一根桩柱上，每次只能移动一个圆盘，且较大的圆盘在移动过程中不能放置在较小的圆盘上面。记最少移动次数为 \(T_n\)。 那么我们如何找出汉诺塔问题的递推式呢？书中给出的做 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:56
木杉的园子
阅读(179)
评论(0)
推荐(0)
摘要：
问题定义：对于一个数列：\(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89\dots\)，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，设第 \(n\) 项为 \(F_n\)。 显然，该问题的递归关系为 \[\begin{align*} F_0 &= 1, \\ F_1 &= 1, \\ F_n &= 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:56
木杉的园子
阅读(82)
评论(0)
推荐(0)
摘要：
如果一个正整数 \(p\) 恰好只有两个因子，即 \(1\) 和 \(p\)，那么这个数就称为素数，而其他有非平凡因子的数都称为合数。以下四个关系等价。 \(p\) 是素数 \(\forall a\)，有 \(p \mid a\) 或 \(\gcd(p,a)=1\) \(\forall a,b\) 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:54
木杉的园子
阅读(130)
评论(0)
推荐(0)
摘要：
我们把与整数 \(a\) 模 \(m\) 同余的整数称作同余数，这些同余数构成的集合记作 \(\bar{a}=\{x \in Z | x \equiv a \pmod m\}\)。所有模 \(m\) 的同余数集合所构成的集合称为模 \(m\) 的剩余类，记作 \(z_m = \{\overline{ 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:49
木杉的园子
阅读(237)
评论(0)
推荐(0)
摘要：
对于一些函数 \(f(n)\)，如果很难直接求出它的值，而容易求出其倍数和或约数和 \(g(n)\)，那么可以通过莫比乌斯反演简化运算，求得 \(f(n)\) 的值。 莫比乌斯函数由如下等式定义 \[\mu(m) = \left\{\begin{matrix}\begin{align*} 1, \q 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:48
木杉的园子
阅读(104)
评论(0)
推荐(0)
浙公网安备 33010602011771号