摘要：
我们将约瑟夫问题推广到一般情况，如果有 \(n\) 个人，每隔 \(q\) 个人就淘汰一个人，那么最后幸存者的号码是多少？ 我们采用新的编号方式，第一个人不会被淘汰，则编号变为 \(n+1\)；第二个人不会被淘汰，则编号变为 \(n+2\)；直至第 \(q\) 个人被淘汰。第 \(q+1\) 个人重 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:31
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当 \(m,n\) 是正整数时，\(n\) 被 \(m\) 除的商是 \(\lfloor n/m \rfloor\)，余数记为 \(n \bmod m\)，称作 \(n\) 对 \(m\) 取模。取模运算可以扩展到实数域，\(x \bmod y\) 的物理意义是，当 \(x\) 和 \(y\) 是正 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:30
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摘要：
整值函数中的底函数和顶函数的定义如下 \(\lfloor x \rfloor\) 为小于或等于 \(x\) 的最大整数； \(\lceil x \rceil\) 为大于或等于 \(x\) 的最小整数。 整值函数拥有以下性质 \(\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:29
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摘要：
Zeilberger 算法推广了 Gosper 算法，可以机械化地处理所有对 \(k\) 求和的和式。其基本思想是，将要求和的项视为两个变量 \(n\) 和 \(k\) 的一个函数 \(t(n,k)\)。Zeilberger 算法可以总结为四个步骤 置 \(l:=0\)。 令 \(\hat{t} = 阅读全文
posted @ 2025-02-24 10:57
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摘要：
在组合意义中，\(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) 代表从具有 \(r\) 个元素的集合中选取 \(k\) 个元素作为子集的方法数，其计算公式为 \[\begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} = \begin{align*} 阅读全文
posted @ 2025-02-24 10:54
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摘要：
使用普法夫反射定律可以将超几何函数转换为另外的形式，常用的两种变换为 \[\frac{1}{(1-z)^a} F\left(\left.\begin{array}{c}a, b \\c\end{array} \right\rvert\, \frac{-z}{1-z}\right) = F\left( 阅读全文
posted @ 2025-02-24 10:52
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摘要：
超几何技术是研究二项式系数之和的系统方法的基础，一般的超几何级数是关于 \(z\) 且带有 \(m+n\) 个参数的幂级数，它用上升的阶乘幂定义如下 \[F\left(\left.\begin{array}{c} a_{1}, \cdots, a_{m} \\ b_{1}, \cdots, b_{n 阅读全文
posted @ 2025-02-24 10:51
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摘要：
Gosper 算法适用于求和项是超几何项的求和，其一般分为两个步骤。 第一步是将项的比值表示成一个特殊的形式 \[\frac{t(k+1)}{t(k)} = \frac{p(k+1)}{p(k)}\frac{q(k)}{r(k+1)}. \]其中 \(p,q,r\) 是满足以下条件的多项式 \[(k 阅读全文
posted @ 2025-02-24 10:23
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