摘要：
我们考虑阶乘 \(n!\) 的素因数分解 \(n! = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\)，由于阶乘 \(n!\) 的因数位于 \([1,n]\) 区间内，因此阶乘 \(n!\) 的各个素因数 \(p_i \in [1,n]\)。我们用 \(\varepsi 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:47
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摘要：
欧拉函数，即 \(\varphi(m)\)，表示的是小于等于 \(m\) 并与 \(m\) 互素的数的个数。欧拉将费马小定理推广到非素数的模，称为欧拉定理，如下所示 \[n^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m, \ \gcd(n,m)=1 \and n,m \in Z. \] 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:46
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如果 \(m>0\) 且比值 \(n/m\) 是一个整数，我们就说 \(m\) 整除 \(n\)（或者 n 被 m 整除），记作 \[m \mid n \Leftrightarrow m > 0, \exist k \in Z, n=mk. \]两个整数 \(m\) 和 \(n\) 的最大公因子是能 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:42
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当两个整数 \(a\) 与 \(b\) 关于整数 \(m\) 的取余运算结果相同，我们称为 \(a\) 关于模 \(m\) 与 \(b\) 同余，记作 \[a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow a \bmod m = b \bmod m. \]定理 1：\(a \eq 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:37
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通常在含有取整的和式中，求封闭形式解的行之有效的技巧是通过引入一个新的变量来规避底或顶。 例 1：求 \(\sum_{0 \leq k \leq n} \lfloor \sqrt{k} \rfloor\)。 令 \(m=\lfloor \sqrt{k} \rfloor\)，则 \[\begin{al 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:32
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我们将约瑟夫问题推广到一般情况，如果有 \(n\) 个人，每隔 \(q\) 个人就淘汰一个人，那么最后幸存者的号码是多少？ 我们采用新的编号方式，第一个人不会被淘汰，则编号变为 \(n+1\)；第二个人不会被淘汰，则编号变为 \(n+2\)；直至第 \(q\) 个人被淘汰。第 \(q+1\) 个人重 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:31
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当 \(m,n\) 是正整数时，\(n\) 被 \(m\) 除的商是 \(\lfloor n/m \rfloor\)，余数记为 \(n \bmod m\)，称作 \(n\) 对 \(m\) 取模。取模运算可以扩展到实数域，\(x \bmod y\) 的物理意义是，当 \(x\) 和 \(y\) 是正 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:30
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整值函数中的底函数和顶函数的定义如下 \(\lfloor x \rfloor\) 为小于或等于 \(x\) 的最大整数； \(\lceil x \rceil\) 为大于或等于 \(x\) 的最小整数。 整值函数拥有以下性质 \(\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:29
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摘要：
Zeilberger 算法推广了 Gosper 算法，可以机械化地处理所有对 \(k\) 求和的和式。其基本思想是，将要求和的项视为两个变量 \(n\) 和 \(k\) 的一个函数 \(t(n,k)\)。Zeilberger 算法可以总结为四个步骤 置 \(l:=0\)。 令 \(\hat{t} = 阅读全文
posted @ 2025-02-24 10:57
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摘要：
在组合意义中，\(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) 代表从具有 \(r\) 个元素的集合中选取 \(k\) 个元素作为子集的方法数，其计算公式为 \[\begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} = \begin{align*} 阅读全文
posted @ 2025-02-24 10:54
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