摘要：
在算法问题中，如何高效处理数组区间的修改操作是一个常见且重要的话题。比如： 需要在一个数组的多个区间上进行加减操作，最终输出结果； 频繁调整数组部分区间的值，但需要快速恢复整体状态； 处理二维平面或更高维数据的区域更新问题。 通常，我们可以使用暴力遍历的方法，但当数组规模较大、操作次数较多时，暴力方 阅读全文
posted @ 2025-02-24 15:07
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摘要：
随着数据规模的增长和存储介质的限制，传统的二叉树结构逐渐显现出其不足：在外存环境下，频繁的 I/O 操作严重影响性能。为了解决这一问题，B-树（Balanced Tree）被发明，用于高效管理外存中的数据结构。 B-树是一种多路平衡搜索树，特别适合大规模数据存储和检索，其高效的节点分裂与合并机制使其 阅读全文
posted @ 2025-02-24 15:05
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摘要：
在数据库和文件系统中，B+树是常见的数据结构之一，主要用于索引管理和大规模数据的高效检索。与 B-树类似，B+树也属于多路平衡搜索树，但在存储布局和操作特性上进行了优化，尤其适用于磁盘存储环境。 本文将详细介绍 B+树的特点及优势，帮助读者全面理解这一重要的数据结构。 1. 什么是B+树 B+树是B 阅读全文
posted @ 2025-02-24 15:05
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摘要：
在算法竞赛和实际应用中，处理动态数据时经常遇到以下问题： 区间求和：快速求解某个区间的元素总和； 单点更新：快速更新某个元素的值，同时保证区间查询结果的正确性。 如果使用简单的数组实现，区间查询的复杂度为 \(O(n)\)，单点更新的复杂度为 \(O(1)\)。而如果选用前缀和数组，查询变成了 \( 阅读全文
posted @ 2025-02-24 15:04
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摘要：
在计算机科学中，二叉搜索树（BST）是常用的数据结构，能够高效地支持动态数据的插入、删除和查询。然而，普通的二叉搜索树在数据分布不均的情况下可能退化为链表，从而导致操作效率下降到 \(O(n)\)。为了解决这一问题，1962 年两位苏联科学家 Adelson-Velsky 和 Landis 提出了第 阅读全文
posted @ 2025-02-24 15:04
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摘要：
基于一些和式计算的特殊方法，在将递归式转换为和式后，可以简化递归式的求解。 使用和式求解汉诺塔问题 考虑汉诺塔问题的递归关系： \[\begin{align*} T_0 &= 0; \\ T_n &= 2T_{n-1} + 1, n > 0. \end{align*} \]等式两边同时除以 \(2^ 阅读全文
posted @ 2025-02-24 15:02
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摘要：
无限微积分由 \(\mathrm{D}f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) 所定义的微分算子 \(\mathrm{D}\) 的性质，有限微分则是由 \(\Delta f(x) = f(x+h) - f(x)\) 所定义的差分算子 \(\Delta 阅读全文
posted @ 2025-02-24 15:00
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成功处理和式的关键在于，将一个 \(\sum\) 改变成另一个更简单或者更接近某个目标的 \(\sum\)。通过学习一些基本的变换法则并在实践中练习使用它们，就会容易做到这点。 基本变换法则 设 \(K\) 是任意一个有限整数集合， \(K\) 中元素的和式可以使用分配律、结合律、交换律进行变换： 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:59
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问题定义：平面上 \(n\) 条直线所界定的区域的最大个数 \(L_n\) 是多少？ 基于对前几个 \(n\) 情况的分析，我们可以总结以下规律：第 \(n\) \((n>0)\) 条直线使得区域的个数增加 \(k\) 个，当且仅当它对 \(k\) 个已有区域进行了分裂；而它对 \(k\) 个已有区 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:58
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摘要：
问题定义：从围成标有记号 \(1\) 到 \(n\) 的圆圈的 \(n\) 个人开始，每隔一个删去一个人，直到只有一个人幸存下来，记最后幸存者的编号为 \(J_n\)。 我们假设一开始有 \(2n\) 个人，第一轮后剩下的人编号为 \(1,3,5,\dots,2n-1\)，而这恰好是游戏从 \(n\ 阅读全文
posted @ 2025-02-24 14:57
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