具体数学 - 莫比乌斯反演 Mobius Inversion Formula

对于一些函数 \(f(n)\)，如果很难直接求出它的值，而容易求出其倍数和或约数和 \(g(n)\)，那么可以通过莫比乌斯反演简化运算，求得 \(f(n)\) 的值。

莫比乌斯函数由如下等式定义

\[\mu(m) = \left\{\begin{matrix}\begin{align*} 1, \quad &m=1; \\ (-1)^k, \quad &m=\prod_{i=1}^k p_i \and \gcd(p_{i_p},p_{i_q})=1; \\ 0, \quad &others. \end{align*}\end{matrix}\right. \]

假设 \(m\) 存在素因数分解 \(m = p_1^{c_1} p_2^{c_2} \dots p_k^{c_k}\)，莫比乌斯函数的意义为

• 当 \(m=1\) 时，\(\mu(m)=1\)；
• 当 \(m \neq 1\) 时，
  • 当存在 \(i \in [1,k]\)，使得 \(c_i>1\) 时，\(\mu(m)=0\)，也就是说只要某个质因子出现的次数超过一次，\(\mu(m)=0\)。
  • 当任意 \(i \in [1,k]\)，使得 \(c_i=1\) 时，\(\mu(m)=(-1)^k\)，也就是说每个质因子都仅仅只出现过一次时，\(\mu(m)=(-1)^k\)，此处 \(k\) 指的便是仅仅只出现过一次的质因子的总个数。

莫比乌斯函数具有如下性质

\[\sum_{d \mid m} \mu(m) = [m=1]. \]

其中 \(\sum_{d \mid m}\) 表示将 \(m\) 的所有因子 \(d\) 代入求和。莫比乌斯函数的前几项的值如下所示

\(m\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
\(\mu(m)\)	1	-1	-1	0	-1	1	-1	0	0	1	-1	0

莫比乌斯变换

假设 \(f(m)\) 和 \(g(m)\) 是两个数论函数，具有如下变换

\[f(m) = \sum_{d \mid m} g(d) \Leftrightarrow g(m) = \sum_{d \mid m} \mu(d) f(\frac{m}{d}). \]

这种形式下，数论函数 \(f(m)\) 称为数论函数 \(g(m)\) 的莫比乌斯变换，数论函数 \(g(m)\) 称为数论函数 \(f(m)\) 的莫比乌斯逆反演。

证明：

\[\sum_{d \mid m} \mu(d) f(\frac{m}{d}) \overset{f(m) = \sum_{d \mid m} g(d)}{=} \sum_{d \mid m} \mu(d) \sum_{k \mid \frac{m}{d}} g(k) \overset{ex. \ order}{=} \sum_{k \mid m} g(k) \sum_{d \mid \frac{m}{k}} \mu(d) \overset{\sum_{d \mid m} \mu(d) = [m=1]}{=} g(m). \]