具体数学 - 同余数 Congruence

当两个整数 \(a\) 与 \(b\) 关于整数 \(m\) 的取余运算结果相同，我们称为 \(a\) 关于模 \(m\) 与 \(b\) 同余，记作

\[a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow a \bmod m = b \bmod m. \]

定理 1：\(a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow m|(a-b)\)

证明：假设 \(a = k_1 m + r_1\) 与 \(b = k_2 m + r_2\)， 那么 \(a-b = (k_1 - k_2)m + (r_1 - r_2)\)，当 \(a \equiv b \pmod m\) 时，有 \(r_1 = r_2\)，所以 \(a-b = (k_1 - k_2)m\) 必定可以被 \(m\) 整除。反向证明同理。

定理 2：\(a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow a = b + km\)

证明：假设 \(a = k_1 m + r_1\) 与 \(b = k_2 m + r_2\)，已知 \(a \equiv b \pmod m\)，则 \(r_1 = r_2\)，有 \(a = k_1 m + r_1 = (k_2+k) m + r_2 = (k_2 m + r_2) + km = b + km\)。反向证明同理。

同余数具有以下性质

• 自反性：$a \equiv a \pmod m $；
• 对称性：\(a \equiv b \pmod m \Rightarrow b \equiv a \pmod m\)；
• 传递性：\(a \equiv b \pmod m \and b \equiv c \pmod m \Rightarrow a \equiv c \pmod m\)；
• 同加性：\(a \equiv b \pmod m \Rightarrow a+c \equiv b+c \pmod m\)，\(a \equiv b \pmod m \and c \equiv d \pmod m \Rightarrow a+c \equiv b+d \pmod m\)；
• 同乘性：\(a \equiv b \pmod m \Rightarrow ac \equiv bc \pmod m\)，\(a \equiv b \pmod m \and c \equiv d \pmod m \Rightarrow ac \equiv bd \pmod m\)；
• 同幂性：\(a \equiv b \pmod m \Rightarrow a^n \equiv b^n \pmod m\)
• \(a \bmod p = a \bmod q = x \and \gcd(p,q) = 1 \Rightarrow a \pmod{pq}\)。

中国剩余定理

对于一元线性同余方程组

\[\left\{ \begin{matrix} x \equiv a_1 \pmod {p_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {p_2} \\ \cdots \\ x \equiv a_n \pmod {p_n} \end{matrix} \right. \]

一般性的求解过程是

• 求所有模数的积 \(p = p_1 \cdot p_2 \cdots p_n\)；
• 对于第 \(i\) 个方程：
  • 计算 \(m_i = \frac{p}{p_i}\)；
  • 计算 \(m_i\) 在模 \(p_i\) 下的逆元 \(m_i^{-1}\)；
  • 计算 \(c_i = m_i m_i^{-1}\)。
• 方程组在模 \(p\) 意义下的唯一解为 \(x = \sum_{i=1}^k a_i c_i\)。

例题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

\[\left\{ \begin{matrix} x \equiv 2 \pmod {3} \\ x \equiv 3 \pmod {5} \\ x \equiv 2 \pmod {7} \end{matrix} \right. \]

首先，我们计算模数的积为 \(p = 3 \times 5 \times 7 = 105\)。然后，我们求解方程

\[\left\{ \begin{matrix} x \equiv 1 \pmod {3} \\ x \equiv 0 \pmod {5} \\ x \equiv 0 \pmod {7} \end{matrix} \right. \]

由上述方程我们知道， \(5 \mid x \and 7 \mid x \Rightarrow 35 \mid x\)，显然，\(x_1 = 70\) 是最小正整数解。同理，我们求得 \(x_2 = 21, x_3 = 15\) 分别为方程 \(\left\{ \begin{matrix} x \equiv 0 \pmod {3} \\ x \equiv 1 \pmod {5} \\ x \equiv 0 \pmod {7} \end{matrix} \right.\) 与 \(\left\{ \begin{matrix} x \equiv 0 \pmod {3} \\ x \equiv 0 \pmod {5} \\ x \equiv 1 \pmod {7} \end{matrix} \right.\) 的最小正整数解。最后，我们得到 \(x = 70a_1 + 21a_2 + 15a_3 \pmod{105}\) 为方程的通解，将 \(a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 2\) 代入后得到方程的解 \(x = 70 \times 2 + 21 \times 3 + 15 \times 2 \pmod{105} = 23\)。