具体数学 - 阶乘因子 Factorial Factors

我们考虑阶乘 \(n!\) 的素因数分解 \(n! = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\)，由于阶乘 \(n!\) 的因数位于 \([1,n]\) 区间内，因此阶乘 \(n!\) 的各个素因数 \(p_i \in [1,n]\)。我们用 \(\varepsilon_{p_i}(n!)\) 表示阶乘 \(n!\) 的素因数 \(p_i\) 的幂次。

参考素因数 \(p_i\) 及其幂次对表示阶乘 \(n!\) 的贡献，我们以素数 \(2\) 与阶乘 \(10!\) 为例，因子 \(2=2^1,4=2^2,8=2^3\) 分别贡献了素数 \(2\) 的 \(1,2,3\) 个幂次，因此对于一般的阶乘 \(n!\) 我们可以给出计算公式 \(\varepsilon_2(n!) = \lfloor\frac{n}{2}\rfloor + \lfloor\frac{n}{4}\rfloor + \lfloor\frac{n}{8}\rfloor + \cdots = \sum_{k \geq 1} \lfloor\frac{n}{2^k}\rfloor\)。这个和式是有限的，因为 \(2^k > n\) 时求和项为零，只有 \(\lfloor \log n \rfloor\) 个非零项。将我们的发现推广到任意的素数 \(p\) ，根据与前面同样的推理，我们就有

\[\varepsilon_p(n!) = \sum_{k \geq 1} \lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor. \]

我们从求和项中直接去掉底，然后对无穷几何级数求和，我们得到一个上界：

\[\begin{align*} \varepsilon_p(n!) &< \frac{n}{p} + \frac{n}{p^2} + \frac{n}{p^3} + \cdots \\ &= n(\frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3}) \\ &= \frac{n}{p-1}. \end{align*} \]