问题定义：对于一个数列：\(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89\dots\)，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，设第 \(n\) 项为 \(F_n\)。
显然，该问题的递归关系为
\[\begin{align*}
F_0 &= 1, \\
F_1 &= 1, \\
F_n &= F_{n-1} + F_{n-2}, n>1.
\end{align*}
\]
封闭形式求解
我们可以使用三种方法求解斐波那契数递归关系的封闭形式：等比数列求解法、特征方程法和生成函数法。
等比数列求解
首先我们使用待定系数法构造符合原递归关系的等比数列，设
\[F_n - \lambda F_{n-1} = \mu (F_{n-1} - \lambda F_{n-2}).
\]
对比原递归关系的系数，有
\[\left\{
\begin{aligned}
\lambda + \mu &= 1, \\
-\lambda \times \mu &= 1.
\end{aligned}
\right.
\]
解得
\[\left\{
\begin{aligned}
\lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \\
\mu = \frac{1-\sqrt{5}}{2},
\end{aligned}
\right.
\ or \
\left\{
\begin{aligned}
\lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \\
\mu = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.
\end{aligned}
\right.
\]
代入原式，得到等比数列通项公式
\[\left\{
\begin{aligned}
F_n - \frac{1+\sqrt{5}}{2} F_{n-1} &= \frac{1-\sqrt{5}}{2} (F_{n-1} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} F_{n-2}) = (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-2}(F_1 - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_0), \\
F_n - \frac{1-\sqrt{5}}{2} F_{n-1} &= \frac{1+\sqrt{5}}{2} (F_{n-1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2} F_{n-2}) = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-2}(F_1 - \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_0).
\end{aligned}
\right.
\]
两式分别乘以 \(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) 和 \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) 后相减，得到
\[F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n].
\]
特征方程求解
问题的递归关系是齐次的，其特征方程为
\[x^2 = x + 1.
\]
得到两个特征根 \(x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) 和 \(x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)，则特征方程的通解为
\[x = C_1x_1^n + C_2x_2^n.
\]
将递推关系的初值代入，得到 \(C_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\) 与 \(C_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}\)，则
\[x = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n].
\]
生成函数求解
设生成函数
\[g(x) = F_0 + F_1x + F_2x^2 + \cdots + F_nx^n + \cdots
\]
利用给定的递归关系和初值 \(F_0=1\)，我们得到
\[\begin{align*}
g(x) - (x+x^2)g(x) &= F_0 + (F_1-F_0)x + (F_2-F_1-F_0)x^2 + (F_3-F_2-F_1)x^3 + \cdots + (F_n-F_{n-1}-F_{n-2})x^n + \cdots \\
&= 1.
\end{align*}
\]
因此
\[\begin{align*}
g(x) &= \frac{1}{1-x-x^2} \\
&= \frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x}-\frac{1}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x}) \\
&= \frac{1}{\sqrt{5}}(\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^nx^n-\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^nx^n) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n)x^n.
\end{align*}
\]
我们得到递推关系的解为
\[F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n).
\]
斐波那契数问题扩展
问题1：是否有时间复杂度为 \(O(\log{n})\) 的算法计算 \(F_n\)？
我们能否基于斐波那契数递归关系的封闭解，对 \(n\) 执行快速幂计算来满足时间复杂度需求？
不可以。由于求幂项的底数存在无理数，如果使用浮点数进行存储，则会存在精度损失，可能会造成计算结果不正确。
我们构造一个向量
\[f_n = [F_n, F_{n+1}].
\]
则
\[f_n = f_{n-1} \times
\left[
\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{array}
\right]
= f_1 \times
(\left[
\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{array}
\right]) ^ {n-1}.
\]
因此，我们对 \(n\) 执行矩阵快速幂就可以在 \(O(\log{n})\) 的时间复杂度下计算得到 \(F_n\)。如果需要计算斐波那契数的前 \(n\) 项和 \(S_n\)，则构造向量 \(f_n = [F_n, F_{n+1}, S_n]\)，对矩阵 \(\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]\) 执行快速幂计算即可。
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