具体数学 - 欧拉函数 Euler's Totient Function

欧拉函数，即 \(\varphi(m)\)，表示的是小于等于 \(m\) 并与 \(m\) 互素的数的个数。欧拉将费马小定理推广到非素数的模，称为欧拉定理，如下所示

\[n^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m, \ \gcd(n,m)=1 \and n,m \in Z. \]

类似于费马小定理的证明，我们考虑模 \(m\) 意义下的剩余类 \(Z_m = \{r_1,r_2,\dots,r_{\varphi(m)}\}\)，我们对每个元素乘以 \(n\) 构造 \(Z_m = \{nr_1,nr_2,\dots,nr_{\varphi(m)}\}\)，\(Z_m'\) 中每个元素是互不相同的，则两个集合中所有元素的乘积是同余的，即 \(r_1 \cdot r_2 \dots r_{\varphi(m)} \equiv n^{\varphi(m)} r_1 \cdot r_2 \dots r_{\varphi(m)} \pmod m\)，约去 \(r_1 \cdot r_2 \dots r_{\varphi(m)}\) 可得 \(n^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\)。

如果 \(m\) 是一个素数幂 \(p^k\)，则容易计算 \(\varphi(m)\)。在 \(\{0,1,\dots,p^k-1\}\) 中 \(p\) 的倍数是 \(\{0,p,2p,\dots,p^k-p\}\)，共有 \(p^{k-1}\) 个，将这些 \(p\) 的倍数剔除，余下的元素与 \(m\) 互素，共有 \(\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}\) 个。特别地，当 \(k=1\) 时有 \(\varphi(p)=p-1\)。

如果 \(m\) 不是素数幂，则我们将其进行分解，如 \(m= m_1 m_2\)，其中 \(m_1\) 和 \(m_2\) 互素。如果我们能找到 \(\varphi(m)\) 与 \(\varphi(m_1)\) 和 \(\varphi(m_2)\) 的关系，那么我们就可以递归地求出 \(\varphi(m)\) 的值。下面我们证明 \(\varphi(m) = \varphi(m_1)\varphi(m_2)\)，即欧拉函数是积性的。

证明 1：假设 \(m\) 存在素因数分解 \(m=p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\)。由于 \(\varphi(m)\) 表示的是小于等于 \(m\) 并与 \(m\) 互素的数的个数，我们假设 \(1,2,\dots,m\) 中与 \(m\) 有 \(t\) 个相同素因子的个数有 \(f_t(m)\) 个，那么

\[\begin{align*} f_0(m) &= m;\\ f_1(m) &= \sum_{i=1}^k \frac{m}{p_i}; \\ f_2(m) &= \sum_{1 \leq i \leq j \leq k} \frac{m}{p_i p_j}; \\ \cdots \\ f_t(m) &= \sum_{1 \leq i_j \leq k} \frac{m}{\prod_{j=1}^t p_{i_j}}. \end{align*} \]

根据容斥原理，我们得到

\[\begin{align*} \varphi(m) &= \sum_{t=0}^k (-1)^t f_t(m) \\ &= m (1 - \sum_{i=1}^k \frac{1}{p_i} + \sum_{1 \leq i \leq j \leq k} \frac{1}{p_i p_j} - \cdots) \\ &= m \prod_{i=1}^k (1 - \frac{1}{p_i}). \end{align*} \]

那么，当 \(m_1\) 和 \(m_2\) 互素时，它们没有大于一的公因子，显然有 \(\varphi(m) = \varphi(m_1)\varphi(m_2)\)。

证明 2：将 \(1\) 到 \(m_1 m_2\) 排列成如下方阵

\[\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & \cdots & i & \cdots & m_2 \\ 1+m_2 & 2+m_2 & \cdots & i+m_2 & \cdots & 2 m_2 \\ 1+2 m_2 & 2+2 m_2 & \cdots & i+2 m_2 & \cdots & 3 m_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1+j m_2 & 2+j m_2 & \cdots & i+j m_2 & \cdots & (j+1) m_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1+(m_1-1) m_2 & 2+(m_1-1) m_2 & \cdots & i+(m_1-1) m_2 & \cdots & m_1 m_2 \end{array} \]

由于 \(m_1\) 和 \(m_2\) 互素，每一列 \(i+jm_2\) 都能构成关于模 \(m_2\) 的独立剩余类 \(\{\bar{0},\bar{1},\dots,\overline{m_1 - 1}\}\)，每一列与 \(m_2\) 互素的数有 \(\varphi(m_2)\) 个；同理，每一行都能构成关于模 \(m_1\) 的独立剩余类 \(\{\bar{0},\bar{1},\dots,\overline{m_2 - 1}\}\)，每一行与 \(m_1\) 互素的数有 \(\varphi(m_1)\) 个。对于所有的 \(1\leq a < m_1 m_2\)，如果有 \(\gcd(a,m_1 m_2)=1\)，则有 \(\gcd(a,m_1) \and \gcd(a,m_2)\)，互素的元素个数共有 \(\varphi(m) = \varphi(m_1)\varphi(m_2)\) 个。