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摘要： 容斥与反演 容斥 容斥原理 用于不重不漏地【表达/转化】某集合 广义容斥：合法方案数 = 总方案数 - 不合法方案数 狭义容斥： \[\left|\bigcup_{i = 1}^{n}S_i\right|=\sum_{x = 1}^{n}(-1)^{x - 1}\sum_{i_1<i_2<\cdot 阅读全文

摘要： 牛顿级数 把普通多项式转组合数形式的多项式，这种组合形式的多项式就叫牛顿级数。有一个用途是转化高位差分。 已知多项式 \(f(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2+\cdots + a_nx^n\) 因为 \(\binom xn\) 是一个关于 \(x\) 的多项式。 写成组合数的形式 \( 阅读全文

摘要： 斯特林数 第二类斯特林数 定义 : \(n \brace m\) 表示将n个数放在m个非空集合的方案数（注：斯特林数写作大括号） 递推式： \[{n \brace m} = {n - 1 \brace m - 1} + m \times{n - 1 \brace m} \]其组合意义是：把最后一个数 阅读全文

摘要： 卡特兰数 定义 \(Catalan\) 数列 \(H_n\) 是以下问题的方案数： 有一个大小为 \(n × n\) 的方格图，左下角为 \((0, 0)\) 右上角为 \((n, n)\)，从左下角开始 每次都只能向右或者向上走一单位，不走到对角线 \(y = x\) 上方（但可以触碰） 的情况下 阅读全文

摘要： 循环卷积： 多项式 \(F · G \% (x^k - 1)\) 写成代码可以是： vector<int> operator*(const vector<int> &lhs, const vector<int> &rhs) { vector<int> ans(k); for (int i = 0; 阅读全文

摘要： 目录组合数学组合数定义式下降幂上升幂相关结论特殊情况各种定理1. 递推式（春游）2. 翻转3. 吸收公式（用于处理常数或参数）4. 上指标反转5. 二项式定理6. 一行之和定理7. 平行求和8. 上指标求和9.10. 卷积11.多项式系数取模意义下的组合数一些引理Lucas定理拓展 Lucas经典题 阅读全文

摘要： 错排 定义错排d(x)为：长度为x的排列，并且对于任意i，第i位的数不是i的排列方案数。 求法1：无脑容斥。 至少有k个位置对应的数与下标相同的方案数为 \(\binom{n}{k} (n-k)!\) d(x)相当于k=0的情况减k=1加上k=2...来容斥的结果。形式化表达为： \[d(n) = 阅读全文

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摘要： 向量基础 定义 物理定义：有方向有长度的线段。 信息学表示法：以这个向量的出发点为坐标原点，这个向量的终点坐标。一般写作竖着的一列数。 模长：向量的长度。 零向量：模长为 0 的向量； 单位向量：模长为 1 的向量。 例如二位向量 \[\begin{bmatrix} 3\\2 \end{bmatri 阅读全文

摘要： 网络流 感性的定义： 一张DAG，有一个源点s，一个汇点t，其它每条边有一个容量c 从点u到点v的流量：不能让经过的点的流量超出该点的容量 增广路：还能继续流流量的路，也就是有一条路径，路径上的容量都不小于0\ 最大流 定义：s到t的最大流量 求最大流算法的核心思路：不停地找增广路，流量加上该增广路 阅读全文