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摘要： 卡特兰数 定义 \(Catalan\) 数列 \(H_n\) 是以下问题的方案数： 有一个大小为 \(n × n\) 的方格图，左下角为 \((0, 0)\) 右上角为 \((n, n)\)，从左下角开始 每次都只能向右或者向上走一单位，不走到对角线 \(y = x\) 上方（但可以触碰） 的情况下 阅读全文

摘要： 循环卷积： 多项式 \(F · G \% (x^k - 1)\) 写成代码可以是： vector<int> operator*(const vector<int> &lhs, const vector<int> &rhs) { vector<int> ans(k); for (int i = 0; 阅读全文

摘要： 目录组合数学组合数定义式下降幂上升幂相关结论特殊情况各种定理1. 递推式（春游）2. 翻转3. 吸收公式（用于处理常数或参数）4. 上指标反转5. 二项式定理6. 一行之和定理7. 平行求和8. 上指标求和9.10. 卷积11.多项式系数取模意义下的组合数一些引理Lucas定理拓展 Lucas经典题 阅读全文

摘要： 错排 定义错排d(x)为：长度为x的排列，并且对于任意i，第i位的数不是i的排列方案数。 求法1：无脑容斥。 至少有k个位置对应的数与下标相同的方案数为 \(\binom{n}{k} (n-k)!\) d(x)相当于k=0的情况减k=1加上k=2...来容斥的结果。形式化表达为： \[d(n) = 阅读全文

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摘要： 向量基础 定义 物理定义：有方向有长度的线段。 信息学表示法：以这个向量的出发点为坐标原点，这个向量的终点坐标。一般写作竖着的一列数。 模长：向量的长度。 零向量：模长为 0 的向量； 单位向量：模长为 1 的向量。 例如二位向量 \[\begin{bmatrix} 3\\2 \end{bmatri 阅读全文

摘要： 网络流 感性的定义： 一张DAG，有一个源点s，一个汇点t，其它每条边有一个容量c 从点u到点v的流量：不能让经过的点的流量超出该点的容量 增广路：还能继续流流量的路，也就是有一条路径，路径上的容量都不小于0\ 最大流 定义：s到t的最大流量 求最大流算法的核心思路：不停地找增广路，流量加上该增广路 阅读全文

摘要： 简介 自然对数的底数 $ e $ 是一个数学常数，其值约为 2.71828。$ e $ 有多种等价的定义，下面是一些常见的定义： 定义一：作为微积分中的唯一值(导数等于自身) 这个定义是最本质，最常用的 $ e $ 是唯一一个底数 \(a\) ，使得函数 $ f(x) = a^x $ 的导数等于其自 阅读全文

摘要： 洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是用于计算某些不定型极限的一种方法，特别是当极限形式为 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $ 时。洛必达法则指出，如果两个函数的比值的极限是 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\inft 阅读全文

摘要： 目录导数大纲一、导数的基础入门二、各种类型函数的导数三、重点题型分析四、导数的应用五、难度提升：综合题与竞赛题导数公式及运算法则的推导与证明一、基本导数公式证明1. 常数函数的导数2. 幂函数的导数指数函数 $ e^x $ 的导数证明目标4. 对数函数的导数二、导数运算法则证明1. 加法法则（和的导 阅读全文