错排

错排

定义错排d(x)为：长度为x的排列，并且对于任意i，第i位的数不是i的排列方案数。

求法1：无脑容斥。

至少有k个位置对应的数与下标相同的方案数为 \(\binom{n}{k} (n-k)!\)

d(x)相当于k=0的情况减k=1加上k=2...来容斥的结果。形式化表达为：

\[d(n) = \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k} (n-k)!\\ =n!\sum^n_{k=0}(-1)^k\frac{1}{k!} (用定义展开组合数，将n！移出来) \]

求法2：递推

另一种做法是考虑递推，

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；
第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素要满足错排的性质，就有\(d_{n-2}\)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，其他元素i不能放在第i个元素的位置，这和错排所求的问题是一样的，这时，对于这n-1个元素，有 \(d_{n-1}\) 种方法

\[\therefore d_n = (n-1)(d_{n-1} + d_{n-2}) \]

初值：\(d_1 = 0, d_2 = 1\)

例题

[SDOI2016] 排列计数

求有多少种 1 ∼ n 的排列 a，满足恰有 m 个位置 i 使得 \(a_i = i\)。答案对 1e9 + 7 取模。

1 ≤ T ≤ 5 × 1e5，1 ≤ n ≤ 1e6，0 ≤ m ≤ 1e6。

从n中任意钦定m个位置：$\binom{n}{m}

剩下位置错排：\(d_{n-m}\)

所以答案为\(\binom{n}{m}d_{n-m}\)

\(O(n)\)预处理阶乘逆元和错排后\(O(1)\)求

最后特判n=m时，答案为1