卡特兰数 Catalan

卡特兰数

定义

\(Catalan\) 数列 \(H_n\) 是以下问题的方案数：

• 有一个大小为 \(n × n\) 的方格图，左下角为 \((0, 0)\) 右上角为 \((n, n)\)，从左下角开始 每次都只能向右或者向上走一单位，不走到对角线 \(y = x\) 上方（但可以触碰） 的情况下到达右上角有多少可能的路径？
• 在圆上选择 \(2n\) 个点，将这些点成对连接起来使得所得到的 \(n\) 条线段不相交的 方法数？
• 一个栈的进栈序列为 \(1, 2, 3, · · · , n\) 有多少个不同的出栈序列？
• \(n\) 个结点可构造多少个不同的二叉树？
• \(n\) 对括号能组成的括号序列数？
• ......

这些问题的方案数可以证明是相等的。我们先以第一个命题来具体研究 \(Catalan\) 数

图片有点抽象还请各位海涵一下。

我们从（1，1）走到（n，n）的方案数可以递推来求。

设我们第一次接触到对角线时的横坐标为i，前面的方案数可看为从（2，1）走到（i，i-1）的方案数，后面的方案数可看为从（i，i）走到（n,n）的方案数。

对 i 求和有：\(H_n = \sum^{n}_{i=1}H_{i-1}H_{n-i}\)，这就是卡特兰数的递推式。初值为 \(H_0 = H_1 = 1\)。

我们还可以看为总方案数减去超过对角线（触碰到红线）的方案数。

我们对最后一次触碰到红线后的部分进行翻转，则原来的每一条不合法路径（如蓝色）就一一对应了一条终点为（n-1，n+1）的路径(如绿色)。

所以卡特兰数的组合意义是 \(H_n = {2n \choose n} - {2n \choose n-1}\)。

综上：

\[H_n = \begin{cases} \sum_{i = 0}^{n - 1} H_iH_{n - i - 1} & (n\geq2) \\ 1 & (n = 0,1) \end{cases}\\ H_i= \binom{2n}{n}-\binom{2n}{n - 1} \]

再看卡特兰数的第二个和第四个定义，可以发现它们的递推式与该递推式相同。对于第三个和第五个定义，可以认为就是在走网格，并且横向步数不超过纵向步数。

通项公式：\(H_n = \frac{\binom{2n}{n}}{n + 1}\)。这个使用递推公式的生成函数搞出来的，证明比较麻烦，这里不再赘述 。你也可以把该式子带入组合意义中来验证其正确性。

递推式2：\(H_n = \frac{H_{n - 1}(4n - 2)}{n + 1}\) ，这个可以直接带入验证。

因为上课讲的例题都没怎么听懂，这里就不放题了。