勾股数

前言

勾股数又名毕氏三元数 。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。勾股定理：直角三角形两条直角边\(a\)、\(b\)的平方和等于斜边\(c\)的平方\(a^2+b^2=c^2\).[部分来源于知乎]

常用勾股数

高中阶段常用的涉及整数的勾股数有：\([3n，4n，5n(n\in N^*)]\)；\([5，12，13]\)；\([7，24，25]\)；\([8，15，17]\)；\([9，40，41]\)；

涉及根式的勾股数有：\([1，1，\sqrt{2}]\)；\([1，\sqrt{3}，2]\)；\([1，2，\sqrt{5}]\)；\([1，3，\sqrt{10}]\)；\([1，7，5\sqrt{2}]\)；

• 特殊组合：连续的勾股数只有：\(3，4，5\)；连续的偶数勾股数只有：\(6，8，10\)；

构造方法

勾股数\(x\)，\(y\)，\(z\)的构造方法如下，其中\(a，b，k\in N^*\)，\(x=k(a^2-b^2)\)，\(y=2kab\)，\(z=k(a^2+b^2)\)；

[原理解释]：

\(x^2+y^2=k^2(a^2-b^2)^2+4k^2a^2b^2=k^2(a^4-2a^2b^2+4a^2b^2+b^4)\)

\(=k^2(a^2+b^2)^2=[k(a^2+b^2)]^2=z^2\)

使用举例

如令\(a=2\)，\(b=1\)，则勾股数为\(x=3k\)，\(y=4k\)，\(z=5k\)；

如令\(a=3\)，\(b=2\)，则勾股数为\(x=5k\)，\(y=12k\)，\(z=13k\)；

典例剖析

【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第14题】我国古代数学名著《周髀算经》记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为\(a^2+b^2=c^2\)，\((a，b，c\in N^*)\)，我们把\(a，b，c\)成为勾股数，下面给出几组勾股数：\(3，4，5\)；\(5，12，13\)；\(7，24，25\)；\(9，40，41\)；\(\cdots\)，以此类推，可猜测第五组勾股数为__________ 。

分析：

\[\begin{array}{ccc} 3&4&5\\ 2\times1+1&2\times1\times(1+1)&2\times1\times(1+1)+1\\ 5&12&13\\ 2\times2+1&2\times2\times(2+1)&2\times2\times(2+1)+1\\ 7&24&25\\ 2\times3+1&2\times3\times(3+1)&2\times3\times(3+1)+1\\ 9&40&41\\ 2\times4+1&2\times4\times(4+1)&2\times4\times(4+1)+1\\ 11&60&61\\ 2\times5+1&2\times5\times(5+1)&2\times5\times(5+1)+1\\ 13&84&85\\ 2\times6+1&2\times6\times(6+1)&2\times6\times(6+1)+1\\ 15&112&113\\ 2\times7+1&2\times7\times(7+1)&2\times7\times(7+1)+1\\ \end{array}\]

故第五组勾股数为\(11，60，61\)；

推广得到第\(n\)组勾股数的组成规律：

\(a=2\times n+1\)，\(b=2\times n\times (n+1)\)，\(c=2\times n\times (n+1)+1\)，

也即就是：

\[(2n^2+2n+1)^2-(2n^2+2n)^2=(2n+1)^2 \]

三角函数勾股数

• 熟记以下的三角函数中常用的勾股数，运算快捷还不出错；

$[\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2},\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2},1];$ $[\pm\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2},1];$ $[\pm\dfrac{3}{5},\pm\dfrac{4}{5},1];$ $[\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5},\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5},1];$ $[\pm\dfrac{\sqrt{10}}{10},\pm\dfrac{3\sqrt{10}}{10},1];$