勾股数
前言
勾股数又名毕氏三元数 。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。勾股定理:直角三角形两条直角边\(a\)、\(b\)的平方和等于斜边\(c\)的平方\(a^2+b^2=c^2\).[部分来源于知乎]
常用勾股数
高中阶段常用的涉及整数的勾股数有:\([3n,4n,5n(n\in N^*)]\);\([5,12,13]\);\([7,24,25]\);\([8,15,17]\);\([9,40,41]\);
涉及根式的勾股数有:\([1,1,\sqrt{2}]\);\([1,\sqrt{3},2]\);\([1,2,\sqrt{5}]\);\([1,3,\sqrt{10}]\);\([1,7,5\sqrt{2}]\);
- 特殊组合:连续的勾股数只有:\(3,4,5\);连续的偶数勾股数只有:\(6,8,10\);
构造方法
勾股数\(x\),\(y\),\(z\)的构造方法如下,其中\(a,b,k\in N^*\),\(x=k(a^2-b^2)\),\(y=2kab\),\(z=k(a^2+b^2)\);
[原理解释]:
\(x^2+y^2=k^2(a^2-b^2)^2+4k^2a^2b^2=k^2(a^4-2a^2b^2+4a^2b^2+b^4)\)
\(=k^2(a^2+b^2)^2=[k(a^2+b^2)]^2=z^2\)
使用举例
如令\(a=2\),\(b=1\),则勾股数为\(x=3k\),\(y=4k\),\(z=5k\);
如令\(a=3\),\(b=2\),则勾股数为\(x=5k\),\(y=12k\),\(z=13k\);
典例剖析
分析:
故第五组勾股数为\(11,60,61\);
推广得到第\(n\)组勾股数的组成规律:
\(a=2\times n+1\),\(b=2\times n\times (n+1)\),\(c=2\times n\times (n+1)+1\),
也即就是: