排列组合

前言

• 理解和记住一些常见的模型，解决排列组合问题基本就够用了。

排列组合

• 排列、排列数

\(A_n^m=n\times (n-1)\times (n-2)\times\cdots\times (n-m+1)=\cfrac{n!}{(n-m)!}\)；\(A_n^n=n!\)；\(0!=1\)

【引例】\(n\in N\)，且\(n<55\)，则乘积\((55-n)(56-n)\cdots (69-n)\)等于【\(\qquad\)】

$A.A_{69-n}^{55-n}$ $B.A_{69-n}^{15}$ $C.A_{55-n}^{15}$ $D.A_{69-n}^{14}$

分析：\(69-n\) 最大，因式个数为\(\cfrac{(69-n)-(55-n)}{1}+1=15\)，故选 \(B\)。

• 组合、组合数

\(C_n^m=\cfrac{A_n^m}{A_m^m}=\cfrac{n\times(n-1)\times (n-2)\times\cdots\times (n-m+1)}{m!}=\cfrac{n!}{m!\cdot (n-m)!}\)

• 排列组合的识别：

若与顺序(次序、位置)有关，则为排列，若与顺序(次序、位置)无关，则为组合。

引例，比如 \(5\) 个人之间彼此留言，则是排列，共有 \(A_5^2=20\) 种，比如 \(5\) 个人之间彼此握手，则是组合，共有 \(C_5^2=10\) 种；

理解模型

• Ⅰ小球放入盒子

① \(3\) 个不同的小球，放入 \(5\) 个不同的盒子中，每个盒子至多有一个球，共有 \(A_5^3\) 种不同的放法。

分析：等同于 \(3\) 封信，投入 \(5\) 个不同的邮箱，每个信箱至多一个；或者 \(3\) 个人坐 \(5\) 个凳子。

② \(3\) 个不同的小球，放入 \(5\) 个不同的盒子中，每个盒子能放入的小球不限，共有 \(5^3\) 种不同的放法。分析：等同于映射个数问题。

③集合 \(A=\{1，2，3\}\)，集合 \(B=\{a，b，c，d\}\) ，则映射 \(f：A \rightarrow B\) 的个数为 \(4^3\)；映射 \(f：B \rightarrow A\) 的个数为 \(3^4\)；

④集合 \(A=\{1，2，3\}\)，集合 \(B=\{a，b，c\}\) ，则一一映射 \(f：A \rightarrow B\) 的个数为 \(A_3^3=6\) 个，一一映射 \(f：B \rightarrow A\) 的个数也为$ A_3^3=6$ 个。

⑤ \(6\) 个相同的小球，放入 \(3\) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，共有 \(C_5^2\) 种不同的放法。

分析：隔板法，如图所示，\(0\underline{|}0\underline{|}0\underline{|}0\underline{|}0\underline{|}0\)，

所求的不同放法个数，相当于在 \(5\) 个空位上插入 \(2\) 个隔板的不同插入方法，共有 \(C_5^2=10\) 种；

或解：相当于从 \(5\) 个插好的隔板中任意取出三个隔板的不同取出方法，共有 \(C_5^3=10\) 种；

• Ⅱ排队照相

已知有 \(5\) 个同学排队照相，求

①甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？

分析：\(A_4^4\times A_2^2=48\)，相邻问题捆绑策略

②甲、乙、丙三个同学互不相邻的排法有多少种？

分析：\(A_2^2\times A_3^3=12\)，不相邻问题插空策略

③乙不能站在甲前面，且丙不能站在乙前面的排法有多少种？

【法1】：只能按照“甲乙丙”的次序来排列，

定序问题，\(\cfrac{A_5^5}{A_3^3}=20\)，

定序问题除法策略(有部分相同元素的排列问题和定序问题是相同的)

【法2】：先按照甲乙丙的次序排甲乙丙，仅 \(1\) 种，

然后插入剩余两人中的一人有 \(4\) 种，

最后再插入最后一人有 \(5\) 种，故 \(N=4\times 5=20\)

【法3】：先按照甲乙丙的次序排甲乙丙，仅 \(1\) 种，然后插入剩余的两人，分类如下：

当两人不相邻，有 \(A_4^2=12\)种，

当两人相邻，有 \(C_4^1\times A_2^2=8\)种，

故共有 \(A_4^2+C_4^1\times A_2^2=20\)种。

④甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？

【法1】：以乙的位置分类，

当乙居中时，先排乙有 \(A_1^1\) 种，再排其余有 \(A_4^4\)种，

则有 \(A_1^1\times A_4^4=24\)，

当乙不居中时，先排乙有 \(A_2^1\) 种，再排甲 \(A_3^1\) 种，

再排其余有 \(A_3^3\) 种，则有 \(A_2^1\times A_3^1\times A_3^3=36\)，

故共有 \(N=24+36=60\)。

【法2】：以甲的位置分类，类比上法思考。

【法3】：间接法，先 \(5\) 个人做全排列，有 \(A_5^5\) 种，

然后剔除不符合题意的情形，有甲在中间 \(A_4^4\) 种或乙在两端 \(2A_4^4\) 种，

不过这个剔除过程多剔除了甲在中间且已在两端的情形有 \(A_1^1\)(甲)\(A_2^1\)(乙)\(A_3^3\)，

故共有 \(A_5^5-A_4^4-2A_4^4+2A_3^3=60\)

⑤排成两排，前排 \(2\) 人，后排 \(3\) 人，有多少种不同的排法？

分析：\(A_5^5=120\)。两排问题拉成一排策略

⑥5个人排成一排，有多少种不同的排法？

分析：\(A_5^5=120\)。

【对照】5个相同的乒乓球排成一排，有多少种不同的排法？

分析：\(C_5^5=1\)，或者理解为\(\cfrac{A_5^5}{A_5^5}=1\)，\(5\) 个相同理解为定序问题。

⑦ \(5\) 本书中有三本一样的书，排成一排，有多少种不同的排法？

分析：\(\cfrac{A_5^5}{A_3^3}=20\)，\(3\) 本相同理解为定序问题。

⑧单词“error”的所有拼写形式有多少种？

分析：同上述⑦问题，\(\cfrac{A_5^5}{A_3^3}=20\)。

⑨定序问题，比如【简单的定序】，

\(4\) 个人按照甲在前，乙在后的确定次序排队，共有多少种不同的排法？

分析：\(4\) 个人排队，共有\(A_4^4\)种，其中按照甲乙来看，共有\(A_2^2\)类，分为甲前乙后的一类，和甲后乙前的另一类，设每一类有\(x\)种，则\(x\cdot A_2^2=A_4^4\)，故\(x=\cfrac{A_4^4}{A_2^2}=12\)种；

提升： \(6\) 个人按照甲乙丙的确定次序排队，共有多少种不同的排法？

分析： \(6\) 个人排队，共有\(A_6^6\)种，其中按照甲乙丙来看，共有\(A_3^3\)类，其中甲乙丙的次序只占\(\cfrac{1}{A_3^3}\)，设每一类有\(x\)种，则\(x\cdot A_3^3=A_6^6\)，故\(x=\cfrac{A_6^6}{A_3^3}\)种；

再提升：\(n\) 个玩具排成一排，其中有 \(m\) 个相同，则共有排法 \(\cfrac{A_n^n}{A_m^m}\) 种；

廓清关系

• 计数原理和排列组合的关系：计数原理统管排列组合，排列组合简化计数原理的步骤。

如5人排成一排，应该用乘法计数原理，\(\Delta\;\;\Delta\;\;\Delta\;\;\Delta\;\;\Delta\)

位置 \(1\) 有 \(5\) 种(或\(C_5^1\))，位置 \(2\) 有 \(4\) 种(或\(C_4^1\))，位置 \(3\) 有 \(3\) 种(或\(C_3^1\))，

位置 \(4\) 有 \(2\) 种(或\(C_2^1\))，位置 \(5\) 有 \(1\) 种(或\(C_1^1\))；

故共有不同的排列方法\(N=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\)种，

或\(N=C_5^1 \times C_4^1 \times C_3^1 \times C_2^1 \times C_1^1=120\)种，

但如果有了排列的模型，就可以简化为 \(N=A_5^5=120\) 种。

典例剖析

在排列组合题目中，有时候找出错误比换个思路解题更难，所以一旦发现错误，以后就一定要注意避免按照那种模式思维，另外熟练掌握上述的模型，在具体题目的求解中，我们只要能将题目顺利转化为模型就可以求解了。

\(5\) 个男生 \(4\) 个女生组成一个 \(4\) 人小组，要求小组中至少要有一男生一女生，有多少种分法？

法1(直接法)：分类计数，有一男三女，两男两女，三男一女三种情况，故有：\(C_5^1C_4^3+C_5^2C_4^2+C_5^3C_4^1=120\)

法2(学生容易这样思考的保底法)：\(C_5^1C_4^1C_7^2=420\) ，明显法2是有重复的，

比如5个男生为 \(A、B、C、D、E\) ，4个女生为甲、乙、丙、丁；

那么取出的（\(B\)，乙，\(A\)甲）和（\(A\)，甲，\(B\)乙）、（\(A\)，乙，\(B\)甲）等等是一回事，

也就是说这种思路的计数是有重复的，所以要避免这样思考。

反思总结：凡是题目中出现至少至多这样的关键词，则往往需要分类计数或用间接法思考，如果用保底法就会出错。

法3(间接法)：\(C_9^4-C_5^4-C_4^4=120\)。

【北师大选修 2-3 \(P_{17}B\) .02】某校乒乓球队有男运动员 \(10\) 名和女运动员 \(9\) 名，若要选出男女运动员各 \(3\) 名参加混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种比赛方法？

分析：\(C_{10}^3\cdot C_9^3\cdot A_3^3\)，其中男女各3人的混合双打有 \(A_3^3\) 种。

如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有【】种。

$A.11$ $B.12$ $C.20$ $D.21$

法1：第一组开关中至少有一个接通有\(2^2-1=3\)种，第二组开关中至少有一个接通有\(2^3-1=7\)种，由乘法原理可知\(3\times7=21\)，故选\(D\)。

法2：\((C_2^1+C_2^2)(C_3^1+C_3^2+C_3^3)=21\)，故选\(D\)。

从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有一名女生，共有【】种不同的选法。

分析：先选出4个人，有“一女三男”和“二女二男”两种情况，\(C_2^1\cdot C_6^3+C_2^2\cdot C_6^2\)

然后在这4个人中，再安排队长和副队长\(A_4^2\)。

共有\((C_2^1\cdot C_6^3+C_2^2\cdot C_6^2)\cdot A_4^2=660\)种。

【选修2-3，P22 A组第4题】从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(7\)，\(9\)中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个对数值？

法1：直接法，分类计数，

第一类，底数和真数中不含\(1\)，共有\(A_5^2=20\)种，再减去4种重复的情况(\(log_23=log_49\)；\(log_32=log_94\)；\(log_24=log_39\)；\(log_42=log_93\))，有\(16\)种；

第二类，真数中含有\(1\)，即\(log_21=log_31=log_41=log_71=log_91=0\)，只有1种；

综上所述，共有\(16+1=17\)个不同的对数值。

法2：间接法，从\(6\)个数字中任选一个做底数(不能为1)有\(C_5^1\)种，然后在剩余的5个数字中任选一个做真数有\(C_5^1\)种，

故不计特殊情况共有\(C_5^1\times C_5^1=25\)种，其中需要剔除的有类似\(log_a1=0\)的有\(4\)种，

以及这样的\(4\)种(\(log_23=log_49\)；\(log_32=log_94\)；\(log_24=log_39\)；\(log_42=log_93\))，

综上所述，共有\(25-4-4=17\)个不同的对数值。

\(a，b，c，d，e\)共5个人，从中选1名组长1名副组长，但\(a\)不能当副组长，不同的选法种数为【】

$A.20$ $B.16$ $C.10$ $D.6$

分析：由于选出的人中，可能有\(a\)，也可能没有\(a\)，故需要分类讨论：

当选出的人中没有\(a\)时，有\(C_4^2\cdot A_2^2=12\)；

当选出的人中有\(a\)时，则\(A_1^1\cdot A_4^1=4\)；

故不同的选法共有\(12+4=16\)。故选\(B\)。

从6名志愿者中选出4人，分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事翻译工作，则选派方案共有【】种。

$A.280$ $B.240$ $C.180$ $D.96$

分析：由于选出的人中，可能有甲、乙两个人，也可能都没有，也可能只有一个人，故需要分类讨论：

当选出的人中不包含甲、乙两人时，有\(A_4^4=24\)种；

当选出的人中只包含甲、乙两人中的一人时，先选后排，有\(C_2^1\cdot C_4^3\cdot A_3^1\cdot A_3^3=144\)种；

当选出的人中包含甲、乙两人时，先选后排，有\(C_2^2\cdot C_4^2\cdot A_3^2\cdot A_2^2=72\)种；

故共有\(N=240\)种。

某班举行晚会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为【】

$A.42$ $B.36$ $C.30$ $D.12$

分析：按照这两个节目是否相邻分类讨论如下：

当插入的两个节目相邻，则有\(C_6^1\cdot A_2^2=12\)种；

但插入的两个节目不相邻，则有\(A_6^2=30\)种；

故共有\(N=12+30=42\)种。故选\(A\)。

某城市的街道如图所示，某人要从\(A\)地到\(B\)地，则路程最短的走法共有【】种

$A.8$ $B.10$ $C.12$ $D.32$

法1：列举法，依次画出，共有10种，故选\(B\)。

法2：组合法，类似于二项展开式的项的构成一样，从\(A\)地到\(B\)地的走法，必须且只需向上或向右，分析可知，需要向上两次，向右三次，相当于从\((a+b)^5\)种选3个\(a\)，选2个\(b\)，故选法为\(C_5^3\cdot C_2^2=10\)种，或者\(C_5^2\cdot C_3^3=10\)种，故选\(B\)。

从6个正方体拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为【\(\qquad\)】

$A.208$ $B.204$ $C.200$ $D.196$

分析：间接法，从12个顶点中任取3个共有\(C_{12}^3\)个，然后排除不符合题意的三种情形：

其一，三个顶点在同一行的有\(3\cdot C_4^3=12\)种；

其二，三个顶点在同一列的有\(4\cdot C_3^3=4\)种；

其三，三个顶点位于田字格的对角线上的有4种，

故共有\(N=C_{12}^3-12-4-4=200\)种，故选\(C\)。

设\(\{a_n\}\)为等差数列，从\(\{a_1，a_2，a_3，a_4，a_5，a_6，a_7，a_8，a_9，a_{10}\}\)中任取4个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样的数列最多有_________个。

分析：按照取出的三个数相隔的项数分类讨论如下：

其一，取出的四个数相连的有7个，其逆序也成等差数列，故共有\(7\times2=14\)个；比如\(\{a_1，a_2，a_3，a_4\}\)，\(\{a_2，a_3，a_4，a_5\}\)，\(\cdots\)，\(\{a_7，a_8，a_9，a_{10}\}\)；

其二，取出的四个数隔了一项的，有4个，其逆序也成等差数列，故共有\(4\times2=8\)个；\(\{a_1，a_3，a_5，a_7\}\)，\(\{a_2，a_4，a_6，a_8\}\)，\(\{a_3，a_5，a_7，a_9\}\)，\(\{a_4，a_6，a_8，a_{10}\}\)，

其三，取出的四个数隔了两项的，有1个，其逆序也成等差数列，故共有\(1\times2=2\)个；

故共有\(N=14+8+2=24\)个。

【2018江西南昌二模】在《周易》中，长横表示阳爻，两个短横表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有\(2^3＝8\)种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有4种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，有8种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻、三个阴爻的概率是【】

$A.\cfrac{1}{7}$ $B.\cfrac{9}{16}$ $C.\cfrac{5}{16}$ $D.\cfrac{5}{8}$

分析：六爻共有\(2^6=64\)种，其中三阳爻三阴爻有\(C_6^3=20\)种，说明：相当于从\((阳+阴)^6\)展开式中取三阳爻三阴爻，故有\(C_6^3\cdot C_3^3=20\)种，则所求概率为\(P=\cfrac{20}{64}=\cfrac{5}{16}\)，故选\(C\)。

某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足，仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为【\(\qquad\)】

$A.144$ $B.132$ $C.96$ $D.48$

分析：甲相当于特殊元素，包子相当于特殊位置，故针对甲分类讨论如下：

①当甲选取包子时，有1种选法，接下来剩余4个人三种食物，有\(\cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=C_4^2A_3^3=36\)种；

②当甲不选包子时，先从另外4人中选出1人吃包子有\(C_4^1=4\)种，然后让甲选食物，在花卷和面条中二选一有2种，接下来剩余的人有3人，但食物有2或3种，故需要再次分类讨论

当剩余3人中有1人选取和甲相同，则有\(C_3^1=3\)种，剩余有\(A_2^2\)种，故有\(C_3^1A_2^2=6\)种；

当剩余3人中没有人选取和甲相同，则三人选两种食物，每种食物必须都有人选，有\(C_3^2A_2^2=6\)种；

故当当甲不选包子时，共有\(4\times 2\times(6+6)=96\)种；

综上共有\(N=36+96=132\)种，故选\(B\)。

某次联欢会要安排 \(3\) 个歌舞类节目，\(2\) 个小品类节目，和 \(1\) 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是【\(\qquad\)】

$A.72$ $B.120$ $C.144$ $D.168$

解析：由于题目要求，同类节目不相邻，故考虑使用插空法来解决，分两步来完成：

第一步，先排列三个歌舞类节目，有 \(A_3^3\) 种；此时产生了四个空位，如图所示，\(①\Delta\)\(②\Delta\)\(③\Delta④\)

第二步，由于要求同类节目不相邻，故关键是在 ②③ 位置插入元素，为此需要分类讨论，如可以插入两个元素[一小品一相声，两小品]，或三个元素；

第一类，在 ②③ 位置插入两个元素，一小品和一相声，先选出来小品为 \(C_2^1\) 种，再和一个相声做排列为 \(A_2^2\) 种，最后在剩余的 ③④ 位置 排列剩余的一个小品为 \(A_2^1\) 种，故有 \(C_2^1A_2^2A_2^1=8\) 种；

第二类，在 ②③ 位置插入两个元素，两个小品，有 \(A_2^2\) 种，最后在剩余的 ③④ 位置 排列剩余的一个相声为 \(A_2^1\) 种，故有 \(A_2^2A_2^1=4\) 种；

第三类，在 ②③ 位置插入三个元素，两个小品和一相声，此时需要将小品种选一个和一个相声捆绑为一个元素，先选有 \(C_2^1\) 种，和一个相声捆绑后为一个元素，再和剩余的小品两个元素在这两个位置做全排列，有 \(A_2^2\) 种，排列好以后将原来捆绑的那个大元素解绑，有 \(A_2^2\) 种，这样第三类排列结束，即有 \(C_2^1A_2^2A_2^2=8\) 种，

这样第二步中共有 \(8+4+8=20\) 种，由乘法计数原理可知，共有排法种数 \(N=6\times20=120\) 种，故选 \(B\) .

【错解补充】本题目还容易陷入这样的错误思维，先排列相声，有 \(A_1^1\) 种，然后在其旁边排列小品有 \(A_2^2\) 种，然后在产生的四个空位上排列歌舞类节目，有 \(A_4^3\) 种，很显然，这样的结果是有漏解的。比如这样的排列只考虑到歌舞类节目之间只间隔了一个元素，按题目的要求，完全可能间隔两个元素。

备忘例题

【映射个数和函数个数模型】给定集合\(A=\{1，2，3\}\)，集合\(B=\{a，b，c，d\}\) ，求映射\(f:A \rightarrow B\)的个数和映射\(f:B \rightarrow A\)的个数。

分析：依据映射的概念，映射\(f:A \rightarrow B\)需要给集合\(A\)中的每一个元素(原像)，都找一个确定的对应对象(像)。

此时注意，原像必须有与之对应的唯一的像，但是像不一定必须有原像和她对应。

我们分步完成：先给元素\(1\)分配对象，每次取一个有\(a、b、c、d\)四种选择；

再给元素\(2\)分配对象，每次取一个也有\(a、b、c、d\)四种选择；

最后给元素\(3\)分配对象，每次取一个也有\(a、b、c、d\)四种选择，

允许出现元素\(1、2、3\)都对应到元素\(a\)上而其他元素没有原像与之对应的情形出现；

利用乘法原理，映射\(f:A \rightarrow B\)共有\(4\times 4\times4=4^3\)个，即\((cardB)^{cardA}\)个。

同理，映射\(f:B \rightarrow A\)共有\(3^4\)个，即\((cardA)^{cardB}\)个。

【引申】：若集合\(B\)为数集，则能构成的函数\(f:A \rightarrow B\)共有\(4\times 4\times4=4^3\)个，

能构成的函数\(f:B \rightarrow A\)共有\(3^4\)个，若集合\(B\)不为数集，则所求的函数个数都是\(0\)个。

原因是：函数是非空数集到非空数集的映射。

【映射个数和函数个数模型】给定集合\(A=\{1，2，3\}\)，集合\(B=\{a，b，c\}\) ，求一一映射\(f：A \rightarrow B\)的个数和一一映射\(f：B \rightarrow A\)的个数。

分析：先分析一一映射\(f:A \rightarrow B\)的个数，由于是一一映射，类似有3人坐3个凳子，故有\(A_3^3=6\)个。

同理，一一映射\(f：B \rightarrow A\)的个数也是\(6\)种。

10个相同的小球，分给3个人，允许有人不取，必须分完，共有多少种不同的取法？

法1：以甲取到的小球的个数分类计数如下，

第一类：甲取0个，乙可以取 0~10个 ，丙对应可以取10~0个，有11种不同的取法；

第二类：甲取1个，乙可以取 0~9个 ，丙对应可以取9~0个，有10种不同的取法；

第三类：甲取2个，乙可以取 0~8个 ，丙对应可以取8~0个，有9种不同的取法；

以此类推，

第十一类：甲取10个，乙可以取 0个 ，丙对应可以取0个，有1种不同的取法；

故共有\(N=1+2+3+\cdots+11=\cfrac{(1+11)\times 11}{2}=66\)

法2：隔板法，为保证每个人都取到球，给每个人都补一个球（虚的），

这样就有13个球，形成了12个空位，

用隔板法有\(C_{12}^2=66\)种。

法3：以瓜分10个小球的人的个数分类计数如下：

第一类：仅仅一个人瓜分了10个球，给甲、乙、丙三人，有3种；

第二类：有两个人瓜分了10个球，\(C_9^1C_3^2=27\)，

\(C_9^1\)是隔板法的意思(10个球之间形成9个空位，在任意一个空位上插入一个隔板就可以了)，

\(C_3^2\)是从三人中任取两个人。

第三类：有三个人瓜分了10个球，隔板法，\(C_9^2=36\)，隔板法

故共有\(N=3+27+36=66\)种。

\(20\) 个相同的球分给 \(3\) 个人，要求每人至少分 \(3\) 个，共有多少种分配方法？

法1：第一步，先给每人分给 \(3\) 个球，只有 \(1\) 种方法，此时还有 \(11\) 个球。

第二步，到此问题转化为“把 \(11\) 个相同的小球，分给 \(3\) 个人，允许有人不取，必须分完”，

可以仿上完成，共有\(C_{13}^2=78\)种。

体会数学中的转化划归的思想的重要性。

法2：仿上法1，分类计数，共有\(C_{13}^2=78\)种。