计数原理

前言

计数原理

• 分类加法计数原理：\(N=m_1+m_2+\cdots m_n\)；

• 分步乘法计数原理：\(N=m_1\times m_2\times\cdots \times m_n\)；

• 区别：加法原理中，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；乘法原理中各个步骤中的方法是相互依存的，只有各个步骤都完成才能做完这件事；

解题策略：

①分清要完成的事情是什么，具体题目中需要我们认真分析确定。

②分清完成该事件是分类完成，还是分步完成；

③有无特殊条件的限制；

④检验是否有重复或遗漏。

廓清关系

• 计数原理和排列组合的关系

计数原理统管排列组合，排列组合简化计数原理的步骤。

如5人排成一排，应该用乘法计数原理，\(\Delta\;\;\Delta\;\;\Delta\;\;\Delta\;\;\Delta\)

位置1有5种(或\(C_5^1\))，位置2有4种(或\(C_4^1\))，位置3有3种(或\(C_3^1\))，

位置4有2种(或\(C_2^1\))，位置5有1种(或\(C_1^1\))；

故共有不同的排列方法\(N=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\)种，

或\(N=C_5^1 \times C_4^1 \times C_3^1 \times C_2^1 \times C_1^1=120\)种，

但如果有了排列的模型，就可以简化为\(N=A_5^5=120\)种。

典例剖析

乘积\((a_1+a_2)(b_1+b_2+b_3)(c_1+c_2+c_3+c_4)(d_1+d_2+d_3+d_4)\)的展开式中共有不同的项的个数为_____个。

分析：使用分步乘法计数原理，$N=C_2^1\cdot C_3^1\cdot C_4^1\cdot C_4^1=96 $个。

\((x^2+2x+3y)^5\)的展开式中，含\(x^5y^2\)的项的系数是多少？

法1：将三项式转化为二项式的形式来处理。

\((x^2+2x+3y)^5=[(x^2+2x)+3y]^5\)，其通项公式为\(T_{r+1}=C_5^r(x^2+2x)^{5-r}(3y)^r\)，

由此式可知令\(r=2\)，则有\(T_{2+1}=C_5^2(x^2+2x)^{5-2}(3y)^2=9C_5^2(x^2+2x)^3y^2\)，

以下确定\(x\)的次数，再令\((x^2+3x)^3\)的通项公式为\(T_{k+1}=C_3^k(x^2)^{3-k}(2x)^k=2^kC_3^kx^{6-k}\)，

由此式可知令\(k=1\)，则\(T_{1+1}=C_3^1(x^2)^{3-1}(2x)^1=2\times3 x^5\)，

故含有\(x^5y^2\)的项的系数应该是\(9C_5^2\times2\times3=540\).

法2：排列组合法，

\((x^2+2x+3y)^5=(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)\)，

先分析\(x^5y^2\)的项的构成方式，在本题中，只能是2次\(x^2\)，1次\(x\)，2次\(y\)构成，

故按照多项式乘法法则可知，我们可以先从5个因式中任意选取二个有\(C_5^2\)种，在取出的这个因式种只选取项\(x^2\)；

然后再从剩余的3个因式中任意选取一个有\(C_3^1\)种，在取出的这个因式中只选取项\(2x\)；

最后将剩余的2个因式全部选取，有\(C_2^2\)种，在取出的每个因式种只选取项\(3y\)；

故有\(C_5^2\cdot x^2 \cdot x^2 \cdot C_3^1\cdot 2x\cdot C_2^2\cdot 3y\cdot 3y\)

\(=C_5^2\cdot C_3^1\cdot C_2^2\cdot 2\cdot 9\cdot x^5y^2=540x^5y^2\)。

【映射个数和函数个数模型】给定集合\(A=\{1，2，3\}\)，集合\(B=\{a，b，c，d\}\) ，求映射\(f:A\rightarrow B\)的个数和映射\(f:B \rightarrow A\)的个数。

分析：依据映射的概念，映射\(f:A \rightarrow B\)需要给集合\(A\)中的每一个元素(原像)，都找一个确定的对应对象(像)。

此时注意，原像必须有与之对应的唯一的像，但是像不一定必须有原像和她对应。

我们分步完成：先给元素\(1\)分配对象，每次取一个有\(a、b、c、d\)四种选择；

再给元素\(2\)分配对象，每次取一个也有\(a、b、c、d\)四种选择；

最后给元素\(3\)分配对象，每次取一个也有\(a、b、c、d\)四种选择，

允许出现元素\(1、2、3\)都对应到元素\(a\)上而其他元素没有原像与之对应的情形出现；

利用乘法原理，映射\(f:A \rightarrow B\)共有\(4\times 4\times4=4^3\)个，即\((cardB)^{cardA}\)个。

同理，映射\(f:B \rightarrow A\)共有\(3^4\)个，即\((cardA)^{cardB}\)个。

【引申】：若集合\(B\)为数集，则能构成的函数\(f:A \rightarrow B\)共有\(4\times 4\times4=4^3\)个，

能构成的函数\(f:B \rightarrow A\)共有\(3^4\)个，若集合\(B\)不为数集，则所求的函数个数都是\(0\)个。

原因是：函数是非空数集到非空数集的映射。

\(x\)，\(y\)是两个正整数，则满足\(x+y\leq 10\)的数对\((x，y)\)的个数有多少？

分析：使用分类计数原理，

当\(x=1\)时，\(y=1，2，3，4，5，6，7，8，9\)，有数对9个；

当\(x=2\)时，\(y=1，2，3，4，5，6，7，8\)，有数对8个；

同理可得，当\(x=3，4，5，6，7，8，9\)时分别有数对\(7，6，5，4，3，2，1\)个，

根据加法计数原理，共有数对\(9+8+\cdots 2+1=45\)个。

正整数\(180\)的正约数的个数有_____________个。

分析：\(180=2^2\times 3^2\times 5\)，其正约数的构成是\(2^i\cdot 3^j\cdot 5^k\)形式的数，

其中\(i=0，1，2\)，\(j=0，1，2\)，\(k=0，1\)，

故其不同的正约数有\(3\times 3\times 2=18\)个.