破解函数性质中的表达难点

前言

对数学本质的理解和三种数学语言(自然语言，符号语言，图形语言)的相互转化，始终是学生学习道路上的拦路虎。

• 阅读建议：要看懂这篇博文，请您最好先看看函数的各种性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等)的给出方式，同时请阅读函数性质的综合应用 难

变形之难

比如我们知道函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的周期函数(非常函数)，其满足\(f(x+4)=f(x)\)，则可知其最小正周期\(T=4\)，所以我们就只有见到\(f(x+4)=f(x)\)，才能知道\(T=4\)，即使见到\(f(x+3)=f(x-1)\)，也不知道其周期\(T=4\)；这主要源于我们对数学概念的理解太肤浅。

解释：对周期函数而言，满足条件\(f(x+4)=f(x)\)，即意味着对所有的\(x\in D\)都满足，既然这样，我们就可以给其\(x\)大胆赋值，比如\(f(1+4)=f(1)\)，\(f(2+4)=f(2)\)，\(\cdots\)，

我们自然也可以给\(x\)赋值\(x-1\)，则得到\(f(x+3)=f(x-1)\)，自然还可以得到\(f(x+2)=f(x-2)\)，\(f(x+5)=f(x+1)\)，等等如此，其实上述的这些外形不一的数学符号语言其本质是一样的，是等价的。

问题1：由\(f(4-x)=f(x)\)能变形得到\(f(2-x)=f(2+x)\)吗？可以；

问题2：由\(f(2-x)+f(x)=2\)能变形得到\(f(1-x)+f(1+x)=2\)吗？可以；

转化之难

• 由符号语言到自然语言的转化，大多学生能理解和掌握，体现了对数学本质的理解；

$\hspace{4em}$符号语言

$\hspace{2em}$自然语言

周期性的刻画：

$①f(x+4)=f(x)$或$f(x+2)=f(x-2)\Longrightarrow$

最小正周期$T=4$

$②f(x+a)=-f(x)$或$f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}\Longrightarrow$

最小正周期$T=2a$($a>0$，$k\neq 0$)

奇偶性的刻画：

$③f(-x)=-f(x)$或$f(-x)+f(x)=0\Longrightarrow$

$f(x)$是奇函数

$④f(-x)=f(x)$或$f(-x)-f(x)=0\Longrightarrow$

$f(x)$是偶函数

对称性的刻画：

$⑤f(4-x)=f(x)$或$f(4-x)-f(x)=0\Longrightarrow$

$f(x)$关于直线$x=2$对称

$⑥f(-x)+f(x)=2$或$f(-x)=2-f(x)\Longrightarrow$

$f(x)$关于点$(0，1)$对称

应用之难

• 由自然语言到符号语言的转化，对学生的数学素养提出了更高的要求，体现了数学的应用意识。

$\hspace{4em}$自然语言

$\hspace{2em}$符号语言

周期性的应用：

$①f(x)$的最小正周期$T=4$$\Longrightarrow$

$f(x+4)=f(x)$或$f(x+3)=f(x-1)$

奇偶性的应用：

$②f(x)$是奇函数$\Longrightarrow$

$f(-x)=-f(x)$或$f(-x)+f(x)=0$

$③f(x)$是偶函数$\Longrightarrow$

$f(-x)=f(x)$或$f(-x)-f(x)=0$

对称性的应用：

$④f(x)$关于直线$x=2$对称$\Longrightarrow$

$f(4-x)=f(x)$或$f(3+x)=f(1-x)$

$⑤f(x)$关于点$(2，1)$对称$\Longrightarrow$

$f(4-x)+f(x)=2$或$f(3+x)+f(1-x)=2$

思维之难

• 当我们能非常自如的游走在自然语言到符号语言的转化长河中时，此时我们就仅仅剩余一个难点，就是拓宽思维的难点了；如何理解这句话呢？比如题目给定了奇偶性和周期性，没有明确给定对称性，其实就是想考察你的数学创新意识如何，看你能不能依托这两个性质推出对称性，举例如下：

思维盲点：函数的奇偶性、对称性、周期性三个性质，只要知道其中两个，就能推导出第三个，而第三个常常在解题中是必不可少的，故需要我们打通思维中的盲点，熟练掌握以下的变形和数学思想方法：

• 对称性+奇偶性\(\Longrightarrow\)周期性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\)

• 奇偶性+周期性\(\Longrightarrow\)对称性的变形例子
  

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(x+4)=-f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)对称轴是\(x=2\)

• 对称性+周期性\(\Longrightarrow\)奇偶性的变形例子
  

如，已知函数\(f(x)\)的周期是\(2\)，且满足\(f(2+x)=f(-x)\)，

则由\(\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow\)函数\(f(x)\)是偶函数。

• 以轴对称和中心对称结合形式给出周期性；

引例，已知函数\(f(x)\)的图像关于点\((3,0)\)对称，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，则可知函数的周期\(T=8\)；

分析：由函数\(f(x)\)的图像关于点\((3,0)\)对称，即有\(f(x)+f(6-x)=0\)，

则由\(\begin{align*} f(x)&=f(2-x) \\ f(x)&=-f(6-x)\end{align*}\Bigg\}\)\(\Longrightarrow f(2-x)=-f(6-x)\)

\(\Longrightarrow f(2-x)=-f[4+(2-x)]\Longrightarrow f(x)=-f(4+x)\Longrightarrow\)周期\(T=8\)

小试牛刀

【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)满足以下条件：

①对任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+2)=f(x-2)\)；②函数\(y=f(x+2)\)是偶函数；

③当\(x\in(0，2]\)时，\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}\)，若已知\(a=f(-5)\)，\(b=f(\cfrac{19}{2})\)，\(c=f(\cfrac{41}{4})\)，

则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是【 】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，

那么由①可知，函数满足\(f(x+4)=f(x)\)，其周期是\(4\)；

由②可知\(y=f(x)\)的对称轴是\(x=2\)，可以表达为\(f(x+4)=f(-x)\)，

那么在结合\(f(x+4)=f(x)\)，可知\(f(-x)=f(x)\)，则函数\(f(x)\)还是偶函数；

由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数\(f(x)\)在区间\((0，2]\)上单调递增，

有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。

\(a=f(-5)\xlongequal{周期性}f(-1)\xlongequal{奇偶性}f(1)\)；

\(b=f(\cfrac{19}{2})\xlongequal{周期性}f(\cfrac{3}{2})=f(1.5)\)；

\(c=f(\cfrac{41}{4})\xlongequal{周期性}f(2+\cfrac{1}{4})\xlongequal{已知表达式}f(\cfrac{1}{4}-2)\xlongequal{偶函数}f(2-\cfrac{1}{4})=f(1.75)\)；

或\(c=f(\cfrac{41}{4})=f(2+\cfrac{1}{4})=f(2+\cfrac{1}{4}-4)=f(-\cfrac{7}{4})=f(\cfrac{7}{4})=f(1.75)\)

由\(\because f(x)\)在区间\((0，2]\)上\(\nearrow\)，\(1<1.5<1.75\)， \(\therefore f(1)<f(1.5)<f(1.75)\)，

即\(a<b<c\)，故选\(D\)。