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矩阵秩的估计 (等式或不等式的证明) 是高等代数教学中的一个难点, 我们通常有以下三种方法, 分别是: (i) 从矩阵秩的基本等式和不等式出发, 利用矩阵的初等变换来处理 (参考高代白皮书第 3.2.6 节第 1 部分); (ii) 利用线性方程组的求解理论来处理 (参考高代白皮书第 3.2.6 节 阅读全文
posted @ 2020-02-08 15:22
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矩阵非异性的判定是高等代数教学中的一个重点. 一般来说, 判定非异矩阵的常见方法有五种, 分别是: (i) 行列式的计算 (参考高代白皮书第 1 章); (ii) 凑因子法 (参考高代白皮书第 2.2.3 节); (iii) 线性方程组求解理论的应用 (参考高代白皮书第 3.2.6 节的第 2 部分 阅读全文
posted @ 2020-02-07 17:30
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第五大题 设 $A_1,\cdots,A_n$ 为两两乘法可交换的 2019 阶实方阵, $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是 $n$ 元实系数多项式. 令 $B=f(A_1,\cdots,A_n)$, 证明: 存在 $B$ 的某个特征值 $\lambda_0$, 使得方程 $f(x_1,\c 阅读全文
posted @ 2020-02-06 19:32
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第六大题 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 证明: $A$ 不可对角化当且仅当存在一元多项式 $f(x)$, 使得 $f(A)$ 非零, $I_n+f(A)$ 可逆, 并且 $(I_n+f(A))^{-1}$ 与 $I_n-f(A)$ 相似. 证明 先证必要性. 考虑 $A$ 的 Jordan-C 阅读全文
posted @ 2020-02-06 10:57
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第七大题 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 证明: 存在复数 $c_1,\cdots,c_{n-1}$, 使得 $$A-c_1e^A-c_2e^{2A}-\cdots-c_{n-1}e^{(n-1)A}$$ 是可对角化矩阵. 本题是复旦大学数学学院 18 级高等代数 II 期中考试的第七大题, 虽 阅读全文
posted @ 2020-02-05 17:01
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一、期末考试成绩班级前十名的同学 钱东箭(89)、陈志恒(89)、厉茗(89)、叶晨(88)、金李洋(88)、曹文景(87)、陈河(87)、金雍奇(87)、刘子为(87)、盛志轩(87) 二、总评成绩计算方法 平时成绩根据交作业的次数决定。数学学院原有学生本学期共交作业13次，10次以上（包括10次 阅读全文
posted @ 2020-01-17 10:13
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六、(10分) 设 $n\,(n>1)$ 阶方阵 $A$ 满足: 每行元素之和都等于 $c$, 并且 $|A|=d\neq 0$. 试求 $A$ 的所有代数余子式之和 $\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}$. 解法一 (矩阵性质) 设 $\alpha=(1,1,\cdots,1) 阅读全文
posted @ 2020-01-16 23:33
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七、(10分) 设 $V$ 为 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $V=U\oplus W$, 其中 $U,W$ 都是 $\varphi$-不变子空间. 证明: (1) 对任意的正整数 $k$, $\varphi^{-k}(U):=\{v\in V\mid \va 阅读全文
posted @ 2020-01-16 20:27
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八、(10分) 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n\,(n>1)$ 阶实对称阵, 满足: 每行元素之和都等于零, 并且非主对角元素都小于等于零. 设指标集 $\Gamma=\{1,2,\cdots,n\}$, 两个指标 $i\neq j$ 称为连通的, 如果存在一列指标 $i=i_1,i_2,\ 阅读全文
posted @ 2020-01-16 10:17
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本学期的高等代数每周一题活动计划从第2教学周开始，到第15教学周结束，每周的周末公布一道思考题（共14道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程19级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将 阅读全文
posted @ 2019-09-20 14:55
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18级 丁思成 如果说读白皮书是在公园里毫无遗漏地仔细游览的话，那么做每周一题就是在花园里随意停留选取片段观赏。每周一题并不见得会很难，但是都挺有意思的。其中大多数是针对某些问题推广，我最喜欢的，也可以说是最有代表性的是16级高代下的第9题。在课内已讨论过在复数域上有n个特征值的线性变换的全部不变子 阅读全文
posted @ 2019-07-14 12:52
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一、期末考试成绩班级前十名 丁思成(99)、周烁星(97)、王捷翔(96)、顾文颢(92)、顾天翊(90)、封清(89)、张思哲(89)、李哲蔚(88)、陈钦品(88)、邹年轶(88)、王祝斌(88) 二、总评成绩计算方法 平时成绩根据交作业的次数决定，本学期共交作业13次，10次以上（包括10次） 阅读全文
posted @ 2019-07-06 17:39
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六、(本题10分) 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, 证明: $A$ 有 $n$ 个不同的特征值当且仅当对 $A$ 的任一特征值 $\lambda_0$ 及对应的特征向量 $\alpha$, 矩阵 $\begin{pmatrix} A-\lambda_0I_n & \alpha \\ \alph 阅读全文
posted @ 2019-07-05 15:55
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七、(本题10分) 证明: 存在 $71$ 阶实方阵 $A$, 使得 $$A^{70}+A^{69}+\cdots+A+I_{71}=\begin{pmatrix} 2019 & 2018 & \cdots & \cdots & 1949 \\ & 2019 & 2018 & \cdots & 19 阅读全文
posted @ 2019-07-05 13:50
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八、(本题10分) 设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶半正定实对称阵, 使得 $ABC$ 是对称阵, 即满足 $ABC=CBA$. 证明: $ABC$ 也是半正定阵. 证明 我们先引用如下引理, 它是前 4 种证法的基础, 这也是本题中两个半正定阵的特殊情形. 引理 1 (高代白皮书例 9.55) 阅读全文
posted @ 2019-07-05 12:32
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