群在集合上的作用及 Burnside 引理

注：下文若未特殊说明，默认 \(G\) 是一个群，\(\Sigma\) 是一个集合。

置换表示

\(G\) 到 \(S(\Sigma)\) 的同态 \(f:G\longrightarrow S(\Sigma)\) 称为 \(G\) 在 \(\Sigma\) 上的一个置换表示。对于每个 \(g\in G\)，\(f(g)\) 是 \(\Sigma\) 上的置换。群 \(G\) 借助置换作用在集合 \(\Sigma\) 上，我们定义这样的作用是 \(G\times\Sigma\) 到 \(\Sigma\) 的映射 \(\circ\)，由 \(g\circ a=f(g)(a)\) 给出。

若 \(f\) 是单同态，则称 \(f\) 是忠实的。

G-轨道

设 \(\pi:G\longrightarrow S(\Sigma)\) 是置换表示，对于 \(\Sigma\) 中的元素 \(a,b\)，若存在 \(g\in G\)，使得 \(g\circ a=b\)，则称 \(a\sim b\)。

定理 \(\sim\) 是 \(\Sigma\) 上的等价关系。

证明：因为 \(\pi\) 是同态，所以 \(\pi(1_G)=1_{\Sigma}\)，因此 \(1_G\circ a=a\)，从而 \(a\sim a\)。

若 \(a\sim b\)，则存在 \(g\in G\)，使得 \(g\circ a=b\)，即 \(\pi(g)(a)=b\)，故 \(a=\pi(g)^{-1}b=\pi(g^{-1})b\)，所以 \(b\sim a\)。

若 \(a\sim b\) 且 \(b\sim c\)，则存在 \(g_1,g_2\in G\)，使得 \(g_1\circ a=b,g_2\circ b=c\)，故 \((g_2g_1)\circ a=g_2\circ(g_1\circ a)=g_2\circ b=c\)，即 \(a\sim c\)。

综上，\(\sim\) 满足自反性，对称性和传递性，因此 \(\sim\) 是 \(\Sigma\) 上的等价关系。证毕。

因为 \(\sim\) 是 \(\Sigma\) 上的等价关系，所以它给出了 \(\Sigma\) 的一个划分。记 \(a\) 所在的等价类为 \(G^a:=\{g\circ a|g\in G\}\)。\(G^a\) 称为一个 \(G-\)轨道。

若 \(\Sigma\) 在 \(G\) 的作用下只存在一个轨道，则称 \(G\) 在 \(\Sigma\) 上的作用是传递的。

不动点与稳定核

设 \(\pi:G\longrightarrow S(\Sigma)\) 是置换表示。

对于每个 \(g\in G\)，我们关注在置换 \(\pi(g)\) 下保持不变的元素，这些元素的集合记为 \(C(g)\)，称之为 \(g\) 下的不动点，即

\[C(g):=\{a\in \Sigma|g\circ a=a\} \]

对于每个 \(a\in G\)，我们关注使 \(a\) 保持不变的置换 \(\pi(g)\)，这些群元的集合即为 \(G(a)\)，称之为 \(a\) 的稳定核，即

\[G(a):=\{g\in G|g\circ a=a\} \]

\(C(g)\) 与 \(G(a)\) 满足等式

\[\sum_{g\in G}C(g)=\sum_{a\in \Sigma} G(a) \]

证明：考虑计数满足 \(g\circ a=a\) 的二元组 \((g,a)\) 的数量 \(t\)。

枚举 \(g\)，计算合法的 \(a\)，有

\[t=\sum_{g\in G}C(g) \]

枚举 \(a\)，计算合法的 \(g\)，有

\[t=\sum_{a\in \Sigma} G(a) \]

联立两式可知证毕。

轨道稳定子定理

若 \(G\) 为有限群，对于任意 \(a\in \Sigma\)，都有

\[|G^a||G(a)|=|G| \]

这一结论称为轨道稳定子定理。

证明：先证 \(G(a)\) 是 \(G\) 的子群。

若 \(g_1,g_2\in G(a)\)，则 \((g_1g_2)\circ a=g_1\circ (g_2\circ a)=g_1\circ a=a\)，所以 \(g_1g_2\in G(a)\)。

若 \(g_1\in G(a)\)，则 \(g_1\circ a=a\)，即 \(\pi(g)\circ a=a\)，所以 \(g^{-1}\circ a=\pi(g^{-1})(a)=\pi(g)^{-1}(a)=a\)，从而 \(g^{-1}\in G(a)\)。

根据子群判定定理可知 \(G(a)\le G\)。

因此 \(G\) 有陪集分解

\[G=\bigcup_{i=1}^ng_iG(a) \]

其中 \(n=[G:G(a)]\)。

令 \(a_i=g_i\circ a\)，则对于任意 \(g\in G\)，存在唯一的 \(1\le i\le n\)，使得 \(g\in g_iG(a)\)，设 \(g=g_ih\)，其中 \(h\in G(a)\)，则 \(g\circ a=(g_ih)\circ a=g_i\circ(h\circ a)=g_i\circ a=a_i\)。

令 \(a_i=a_j\)，则 \(g_i\circ a=g_j\circ a\)，则 \(g_i^{-1}g_j\in G(a)\)，则 \(g_j\in g_iG(a)\)，则 \(i=j\)。因此 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 两两不同。

综上，\(G^a=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)，从而

\[|G^a|=n=[G:G(a)]=\frac{|G|}{|G(a)|} \]

移向可得 \(|G^a||G(a)|=|G|\)。

Burnside 引理

接下来我们考虑一个重要的计数问题，如何求出 \(\Sigma\) 在 \(G\) 下的等价类个数？

我们将贡献分配 \(\Sigma\) 的每一个元素上，且令每个等价类的贡献之和恰好为 1，一种自然且可行的分配方案为：对于某个元素 \(a\)，令它的贡献为 \(1/|G^a|\)。

所以我们有

\[|G/\Sigma|=\sum_{a\in \Sigma}\frac{1}{|G^a|} \]

根据轨道稳定子定理，又有

\[|G/\Sigma|=\sum_{a\in \Sigma}\frac{|G(a)|}{|G|}=\frac{1}{|G|}\sum_{a\in \Sigma}|G(a)| \]

再根据稳定核与不动点的关系，可得

\[|G/\Sigma|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|C(g)| \]

这便是 Burnside 引理。