闭区间上连续函数环的极大理想

\(C[a,b]\) 对通常意义上的函数的加法与乘法构成（含幺）交换环. 对 \(f\in C[a,b]\) 定义

\[V(f)=\{x\in[a,b]\mid f(x)=0\} \]

则 \(V(f)\) 是闭集，因为对于 \(E=V(f)\) 的任意极限点 \(x_0\)，有

\[f(x_0)=\lim_{[a,b]\ni x\rightarrow x_0} f(x)=\lim_{E\ni x\rightarrow x_0}f(x)=0 \]

从而对于 \(C[a,b]\) 的理想 \(I\)，有

\[V(I):=\bigcap_{f\in I}V(f) \]

是闭集.

对 \(x\in [a,b]\)，定义 \(\mathrm m_x:=\{f\in C[a,b]\mid f(x)=0\}\)，容易验证 \(\mathrm m_x\) 是 \(C[a,b]\) 的理想.

对于任意 \(f\not\in \mathrm m_x\)，\(f(x)\ne 0\)，考虑 \(g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb R,x\longmapsto \dfrac{1}{f(x)}\)，则 \(g\in C[a,b]\)，且 \((fg)(x)=1\)，即 \((f+\mathrm m_x)(g+\mathrm m_x)=1+\mathrm m_x\)，所以 \(f+\mathrm m_x\) 是 \(C[a,b]/\mathrm m_x\) 的可逆元，因此 \(C[a,b]/\mathrm m_x\) 是域，从而 \(\mathrm m_x\) 是极大理想.

设 \(\mathrm m\) 是 \(C[a,b]\) 的极大理想，假设 \(V(\mathrm m)=\varnothing\)，则

\[[a,b]=\bigcup_{f\in \mathrm m}[a,b]\backslash V(f) \]

该式给出了紧集 \([a,b]\) 的一个开覆盖，取它的一个有限覆盖

\[[a,b]\backslash V(f_1),[a,b]\backslash V(f_2),\cdots,[a,b]\backslash V(f_n) \]

其中 \(f_1,f_2,\cdots,f_n\in \mathrm m\)，则

\[f_1^2+f_2^2+\cdots+f_n^2\in \mathrm m \]

在 \([a,b]\) 上无零点，因此它是 \(C[a,b]\) 的可逆元，这使得 \(\mathrm m=C[a,b]\)，与 \(\mathrm m\) 是 \(C[a,b]\) 的极大理想矛盾.

因此 \(V(\mathrm m)\ne \varnothing\)，即存在 \(x\in V(\mathrm m)\)，这使得 \(\mathrm m\subset \mathrm m_x\)，从而 \(\mathrm m=\mathrm m_x.\)

综上，我们得出 \(\mathrm m_x,x\in [a,b]\) 是 \(C[a,b]\) 的所有极大理想.