Stolz 定理及其证明

Stolz 定理是处理分式极限的强大工具，其形式类似未定式函数极限的洛必达法则.

定理一：设数列 \(\{b_n\}\) 严格单调递增且趋于 \(+\infty\). 若

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_n-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A \]

则 \(\{a_n/b_n\}\) 收敛，且

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_n}{b_n}=A \]

证明：对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(k\)，使得当 \(n\ge k\) 时，有

\[A-\varepsilon<\dfrac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}<A+\varepsilon \]

因为 \(\{b_n\}\) 严格单增，所以 \(b_n-b_{n-1}>0\)，从而

\[A-\varepsilon<\dfrac{(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_k-a_{k-1})}{(b_n-b_{n-1})+(b_{n-1}-b_{n-2})+\cdots+(b_k-b_{k-1})}<A+\varepsilon \]

即 \(A-\varepsilon<\dfrac{a_n-a_{k}}{b_n-b_k}<A+\varepsilon\)，整理得

\[(A-\varepsilon)(1-\dfrac{b_k}{b_n})+\dfrac{a_k}{b_n}<\dfrac{a_n}{b_n}<(A+\varepsilon)(1-\dfrac{b_k}{b_n})+\dfrac{a_k}{b_n} \]

由上（下）极限的保号性，我们有

\[A-\varepsilon\le \liminf_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n}{b_n}\le\limsup_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n}{b_n}\le A+\varepsilon \]

这一步用了 \(b_n\rightarrow +\infty.\)

根据 \(\varepsilon\) 的任意性， \(\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=A\)，即 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=A.\)

定理二：设数列 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 满足 \(a_n\rightarrow 0,b_n\rightarrow 0\)，且 \(\{b_n\}\) 单调递减. 若

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_n-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A \]

则 \(\{a_n/b_n\}\) 收敛，且

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_n}{b_n}=A \]

证明：对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(0<\varepsilon'<\varepsilon\) 和正整数 \(k\)，使得对于一切 \(n,m\ge k\)，都有

\[A-\varepsilon'<\dfrac{a_n-a_m}{b_n-b_m}<A+\varepsilon' \]

同时取 \(m\rightarrow \infty\) 的极限，我们有

\[A-\varepsilon<A-\varepsilon'\le\dfrac{a_n}{b_n}\le A+\varepsilon'<A+\varepsilon \]

即 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=A.\)

补充：利用 Toeplitz 定理证明定理一.

证明：令 \(b_0=0,t_{nk}=\dfrac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\)，易验证 \(\{t_{nk}\}\) 是特普利茨数表，则

\[\dfrac{a_n}{b_n}=\sum_{k=1}^nt_{nk}\dfrac{a_{k}-a_{k-1}}{b_k-b_{k-1}} \]

是特普利茨变换，从而 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=A.\)