随笔分类 - 拓扑学 / 第一部分 一般拓扑学
点集拓扑
摘要：我们已经说过，由选择公理可以得到任意集合都能良序化这一深刻的定理。在数学中，选择公理还有更加重要的推论。这里所提及的“极大原理”有多种版本。在1914年至1935年间，多位数学家曾对极大原理独立地予以论述，他们包括F. Hausdorff、K. Kuratowski、S. Bochner及M. Zo
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摘要：正整数集\(\mathbb{Z}_+\)有一个有用的性质：每一个非空子集有一个最小元。将它加以推广就得到良序集的概念。 定义 具有全序关系\(<\)的一个集合\(A\)称为良序的（well-ordered），如果\(A\)的任意非空子集有一个最小元。 有几种构造良序集的方法，下面是其中的两种： (1
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摘要：我们已经得到了判定集合为无限集的一些法则。例如，若集合\(A\)有一个可数无限子集，或者存在\(A\)与其真子集之间的一一对应，则\(A\)必定为无限集。我们将要证明，这些性质中的任何一个都足以刻画无限集。而这个证明又把我们引向讨论目前我们还没有提到过的逻辑学中的一个问题——选择公理。 定理 9.1
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摘要：在讨论归纳定义原理的一般形式之前，首先证明它的一个特殊情况——引理 7.2的证明中用到过这种情况。它有助于对一般情况的讨论，使证明中的关键思想更为清晰。 对此，给定\(\mathbb{Z}_+\)的无限子集\(C\)，考虑函数\(h:\mathbb{Z}_+\rightarrow C\)的下述归纳公
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摘要：如同正整数的截是有限集的样本那样，所有正整数的集合\(\mathbb{Z}_+\)就是可数无限集的样板。本节将研究这种集合，还要构造一些既不是有限集也不是可数无限集的集合。这种研究将引导我们去讨论“归纳定义”过程的含义。 定义 一个集合\(A\)称为无限的（infinite），如果它不是有限集。一个
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摘要：有限这个概念，读者应该从小学开始就有了直观的感受——能一个个数出来，并且数完的就是有限的。现在，我们将这个概念抽象化严谨化。 回想一下，如果\(n\)是一个正整数，用\(S_n\)表示全体小于\(n\)的正整数集合，并称之为正整数的一个截。集合\(S_n\)就是有限集的样板。 定义 集合\(A\)称
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摘要：前面我们已经定义了两个集合的笛卡尔积\(A\times B\)。现介绍更为一般的笛卡尔积。 定义 设\(\mathcal{A}\)是一个非空集族。\(\mathcal{A}\)的指标函数（indexing function）是从某一个集合\(J\)到\(\mathcal{A}\)的一个满射\(f\)
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摘要：前面我们讨论的都是拓扑学的逻辑基础——集合论的一些基本概念。现转入讨论其数学基础——整数与实数系。 建立起这些基础的一个办法是，仅仅使用集合论公理来构造实数系，也就是说，赤手空拳地干。这样处理问题要花费很多时间和精力，并且其中逻辑的意味远远超过数学。第二种方法比较简单，它假定已有实数的一些公理，从这
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摘要：从某种意义上来说，关系是一个比函数更为广泛的概念。本节将给出数学研究中常常出现的两种关系：等价关系和全序关系。 定义 集合\(A\)上的一个关系（relation）是笛卡尔积\(A\times A\)的一个子集\(C\)。 如果\(C\)是\(A\)中的一个关系，我们用记号\(xCy\)表示\((x
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摘要：函数这个概念相信大家都不陌生，但在这一节中，我们将严格定义函数，并讨论相关运算与性质，如复合、单的、满的。 首先，给出以下定义： 定义 指派法则（rule of assignment）是两个集合的笛卡尔积\(C\times D\)的一个子集\(R\)，该子集满足这样的条件：\(C\)的每一个元素最多
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摘要：基本记号 在本系列中，我们通常使用大写字母\(A,B,\cdots\)表示集合（set），用小写字母\(a,b,\cdots\)表示属于集合的成员（object）或元素（element）。集合有时简称为集，元素有时简称为元。如果成员\(a\)属于集合\(A\)，就记作 \[a\in A \]如果\(
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